Problème INA 1985

Clr · 29/10/2004, 12h55

Bonjour!
Cela fait plusieurs jours que je me creuse la tête sur cette petite question du problème de l'INA 1985 (première composition):

I_k= $\int_{-1}^{1}$ (1-x²)^k dx

Pour k ${\epsilon}$ N

On me demande de monter que pour k $\geq$ 1,

I_k= (2k I _k-1)/ (2k+1)

J'ai essayé par IPP, de même en décomposant (1-x²) en (1-x)(1+x) puis IPP mais je n'y parvient pas.

Merci de votre aide.

Clr

azt · 29/10/2004, 14h58

Salut,

L'intégration par partie marche bien pourtant

En prenant
u=(1-x^2)^(k)
v'=1

et en utilisant ensuite la relation
x²(1-x²)^k = (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1)

On retombe sur la formule demandée

@+

Ganash · 29/10/2004, 15h31

Joli azt.
J'aimerais juste savoir comment tu trouves çà :
x²(1-x²)^k = (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1)

Clr · 29/10/2004, 15h37

-Ganash
Je suis soulagée de voir que je ne suis pas seule à me poser la question...

-azt
Merci, ça m'aide un peu mais la relation que tu donnes n'est pas évidente pour moi.

Geof · 29/10/2004, 16h54

Et bien, il suffit de développer un peu le membre de droite:

Dans l'expression (1-x²)^k - (1-x²)^(k+1), le facteur (1-x²)^k est commun aux 2 termes, et on peut donc le factoriser. On obtient alors:

(1-x²)^k*[1 - (1-x²)] = x²(1-x²)^k comme annoncé par azt.

Geoffrey

Ganash · 29/10/2004, 17h08

et çà vous parait évident quand vous voyez x²*(1-x²)^k cette transformation ?

azt · 29/10/2004, 17h09

Yep, tout juste.

Tu fais cet exercice dans quel but Clr ?
C'est pour la passion des maths ?

Geof · 29/10/2004, 17h54

Ganash: pas évident a priori, et je n'y avais en fait pas pensé. Par contre, en voyant l'expression proposée par azt, la démonstration m'a paru claire, grâce au terme en x².
Et puis, ça m'a rappelé un exercice que j'ai fait en prépa, si pas le même, du moins un très proche.

Ce genre de problème où on détermine des intégrales en utilisant des suites est courant.

Geoffrey

Clr · 29/10/2004, 19h46

Citation:

Posté par azt

Yep, tout juste.

Tu fais cet exercice dans quel but Clr ?
C'est pour la passion des maths ?

Je fais cet exercice car c'est un devoir maison que je dois rendre dans 2 semaines...
Sinon, je n'ai pas une passion particulière pour les maths. ça m'amuse de chercher ce genre de problème mais rien de plus.
C'était ironique ta question?

Merci Geof, azt et Ganash pour votre aide.
Si vous voulez , j'ai des autres questions dans le même genre...

Claire

azt · 29/10/2004, 19h49

Non, non, pas ironique du tout,
j'en ai connu qui faisaient des annales de concours pour le plaisir...