je veux comprendre

hakhak333 · 29/10/2004, 15h36

j'ai un cours de théorie mathématique qui ressemble à des hiérogliphes et que je me refuse à étudier par coeur.

-Pourriez-vous m'aider à comprendre la notion de dérivée seconde??
Une dérivée c bien le calcul de la pente d'une fonction en un point?? alors pourquoi faire la dérivée d'une dérivée ? cela reviendrait à faire le trouver la pente d'une pente!

ça n'a pour moi aucun sens;

Ah oui, et que signifie cette expression Rn--> Rm?

Merci d'avance

beacoup pour vos aides car je suis complètement dépassé par ce cours!!

Ganash · 29/10/2004, 15h48

Citation:

-Pourriez-vous m'aider à comprendre la notion de dérivée seconde??
Une dérivée c bien le calcul de la pente d'une fonction en un point?? alors pourquoi faire la dérivée d'une dérivée ? cela reviendrait à faire le trouver la pente d'une pente!

Il faut bien distinguer la notion de dérivée et la notion de fonction dérivée.

Si je prends f(x)=x^3
f'(x)=3*x²
f''(x)=6*x
f'(x) est la dérivée première de la fonction f (c'est une fonction)
f''(x) est la dérivée seconde de la fonction f (c'est une fonction)

Si je veux calculer la pente en x=1 (par exemple) de la fonction f, je calcule f'(1)=3*(1)²=3
Si je veux calculer la pente en x=1 (par exemple) de la fonction f', je calcule f''(1)=6*1=6

Bon je sais pas si tu comprends mieux.
En fait, la fonction dérivée, c'est une fonction qui te permet de trouver la pente des tangentes à une autre fonction selon les valeurs de la variable x (tu as juste à remplacer x par 1,2,3 etc... pour avoir la pente en x=1,x=2,x=3... etc)
Ca t'évite de te retaper le calcul du nombre dérivé à chaque fois que tu changes la valeur de x.

En gros pour résumer :

La dérivée d'une fonction en x=(un réel) est un nombre
La dérivée d'une fonction pour tout x est une fonction (qui dépend donc de x)

**shokin** · 29/10/2004, 15h49

La dérivée de la dérivée sert à savoir si la pente croît ou décroît.

Là où la dérivée de la dérivée est nulle, tu trouves le point d'inflexion(entre la croissance et la décroissance).

Le point d'inflexion est le moment où tu changes ton volant de direction (gauche<->droite) comme sur une route.

Et c'est bien utile pour faire le graphique précis.

Shokin

yat · 29/10/2004, 15h57

Quand tu es dans ta voiture, ta position est indiquée par ton compteur, ou par les bornes sur le bord de la route. Considérons donc la fonction qui donne ta position en fonction du temps.

La dérivée de ta position à un instant donné, c'est ta vitesse à cet instant. Elle est indiquée par ton compteur de vitesse. La fonction dérivé de ta fonction position est donc la fonction qui donne ta vitesse en fonction du temps.

La dérivée seconde de ta position, c'est ton accélération. Il n'y a pas de compteur d'accélération, mais c'est ce que tu ressens dans une voiture, quand tu es collé sur ton siège ou poussé en avant.

Au niveau de la courbe, ta dérivée est la pente de ta courbe à un point donné, la dérivée seconde est l'évolution de cette pente, c'est à dire la courbure : Si la dérivée seconde est positive, ça fait un creux, si elle est positive c'est une bosse, et si c'est nul la courbe est localement droite.

hakhak333 · 29/10/2004, 21h42

BOnjour,

merci pour vos réponses vous êtes des anges!!!

donc si je comprend bien , la valeur de ma dérivée seconde ne m'interesse que pour savoir si en ce point elle est positive, négative, ou neutre. LE fait quelle valle 6, 10, 20 ou 1000. Importe peu???

olle · 30/10/2004, 02h52

la dérivée première exprime la pente de la courbe.
la dérivée seconde exprime la courbure de la courbe.
au plus elle grande en valeur absolue, au plus ta courbe sera... courbée.
le signe - correspond à une courbure vers le bas, et + vers le haut.

mais il faut aussi bien retenir qu'une dérivée en un point (valeur numérique connue) permet de se donner une idée de la variation d'une fonction dans le voisinage de ce point.

donc si tu connais la dérivée première, tu as une première idée sur le voisinage d'un point. avec la dérivée seconde, tu as la dérivée de la dérivée première et donc tu as encore plus d'informations sur comment varie la dérivée première et par conséquent une connaissance encore plus approfondie de la fonction en elle même...

je sais pas si c'est bien clair, mais tu verras plus tard

hakhak333 · 30/10/2004, 18h23

merci olle,

1)mais il y' a un truc qui me chiffonne; la dérivée première me permet de calculer le coefficient engulaire de la tengeante en un point, donc elle me donne une idée de la croissance ou décroissance (=corbure?) de la pente! parce que si elle est décroissante par exemple, le coefficient angulaire sera négatif! pas besoin de la dérivée seconde

hakhak333 · 30/10/2004, 23h01

Il y a aussi une question qui hante mes nuits:

Cela concerne la formule même qui permet de calculer la dérivée:

LA formule c'est bien de la limite du rapport de l'accroissement d'x et de f(x)???

Mais faire ce rapport EST la pente. Alors pkoi en faire une limite??????On a déjà la réponse en le point!

Je m'emmêle un peu les pinceaux; j'espère en tt cas que vous avez compris et vous remercie davance pour vos eclaircissements.

jdh · 30/10/2004, 23h47

C'est la pente mais sur un certain intervalle or pour avoir la pente en un point ( ou à son voisinage en fait) il faut rendre cet intervalle le plus petit possible d'ou l'utilisation de la notion de limite.

Ganash · 31/10/2004, 00h26

Citation:

Mais faire ce rapport EST la pente. Alors pkoi en faire une limite??????On a déjà la réponse en le point!

Ah non pas du tout.
Faisons un bref calcul :
f(x)=x²

On calcule le taux d'accroissement :
[f(x+h)-f(x)]/h
=[x²+2xh+h²-x²]/h
=2x+h
Si tu ne fais pas tendre h vers 0, tu n'obtiens pas l'expression de la dérivée de x² (qui vaut 2x, bien entendu)

hakhak333 · 31/10/2004, 11h13

oui, d'accord,

mais....

quand je réduit l'intervalle grâce à la limite, je calcule la dérivée en ce point, mais je ne vois pas comment cette dérivée devient une fonction me permettant de trouver les dérivées en CHAQUE point de la courbe?

hakhak333 · 31/10/2004, 11h18

Je sais que je cherche la ptite bête plus haut, mais bon, c pour comprendre

Et aussi, pourriez-vous m'expliquer la notion de dérivée patielle,

c pour comprendre le charabia de shwarz euh...LE théorème de schwarz,

Ganash · 31/10/2004, 11h57

Citation:

quand je réduit l'intervalle grâce à la limite, je calcule la dérivée en ce point, mais je ne vois pas comment cette dérivée devient une fonction me permettant de trouver les dérivées en CHAQUE point de la courbe?

Alors çà c'est facile, je te montre avec un exemple :

Le nombre dérivé de la fonction f en 2, c'est :

lim(h->0) [f(2+h)-f(2)]/h
La tu va trouver un nombre qui est la pente de la tangente en x=2

Maintenant, si je veux la pente en x=3, je dois refaire ce calcul en remplaçant 2 par 3. On est d'accord ?

Plutôt que de se retaper le calcul pour x=4, x=5, x=5445646....
On calcule le nombre dérivé en x (tout simplement)
Donc tu remplaces le 2 de l'équation plus haut par x, et la tu vas trouver le nombre dérivé, sauf que ce nombre dérivé va dépendre de x (logique puisque je n'ai pas dit à quoi était égal x).

Appelons a le nombre dérivé de f pour tout x, tu va obtenir en gros :

a(x)=quelque chose en fonction de x
a(x) est ici la fonction dérivée de f. C'est une fonction puisqu'elle dépend d'une variable

Maintenant tu peux poser x=2 ou x=ce que tu veux, étant donné que tu as calculé la dérivé pour n'importe quel x, tu auras juste à remplacer x par la valeur qui t'interesse dans l'expression de a(x) et tu trouveras la pente de la tangente en ce point.

Ganash · 31/10/2004, 12h35

Bon j'ai regardé rapidement sur le net pour la dérivé partielle.
Apparemment, quand tu as une fonction à plusieurs variables
du style f(x,y,z), tu peux calculer des dérivées partielles, qui sont des dérivées dépendant chacune d'une des trois variables.
Par exemple, supposons f(x,y,z)=xy²+zy²-xz^3 si je veux calculer la dérivée partielle de f par rapport à y (je choisis donc y comme variable),je suppose que x et z sont des constantes.
Donc la dérivée partielle de f(x,y,z) par rapport à y vaut :
2xy+2zy

jdh · 31/10/2004, 12h43

Une question : comment se fait-il que tu étudie les fonctions à plusieurs variables ( ça ne se fait pas au lycée) alors que tu a du mal avec la dérivée seconde?

hakhak333 · 01/11/2004, 11h58

Salut Jdh,

Je ne suis pas au lycée mais à l'unif, en fait j'ai un sérieux retard car j'ai fait une passerelle d'un graduat(belgique) vers une licence en sciences . Ce qui signifie que j'ai des cours de math de 2eme année qui sont la continuité d'un cours de 1er. (cours que je n'ai jamais eu :S)

1)MAis à propos, je ne saisie pas la notion de fonction à plus de 3 variables.

est-ce que ça existe? ESt-ce que ça voudrait dire qu'il pourait y' a avoir plusierus "x" pour déterminer un point? Dans ce cas y'aurait-il plus de 3 axes dans le repère orthonormé? je m'embrouille, pourriez vous m'aider?

Ou si vous connaissez un site qui vulgarise[b] bien tout cela je serais ravi!!

JE m'en

**shokin** · 01/11/2004, 14h25

Ya bien les fonctions de productions, d'utilité en microéconomie qui peuvent avoir plusieurs variables.

Par exemple :

production (en unité)=f(x;y;z)=(2x+y)^3+(x+3z )^2 avec x le nombre d'ouvriers (main d'oeuvre), y le nombre de kilo de blé (matière première), z le nombre de machines utilisables.

utilité du café (quantifiée) pour le consommateur X = f(x;y) = (2x+y)^3/(x^2) avec x le nombre de tasses de café bues en une certaine période, avec y le nombre d'efforts (joules ou newton) effectués en cette même période.

[Ce ne sont que des modélisations, des fonctions fictives]

Si tu cherches sur google facteurs+lagrange...

Shokin