Probleme sinusoide/fractale

No place · 01/11/2004, 02h49

Bonjour,

je suis prof de bio (non non, je ne me suis pas perdu

) et j'ai actuellement un petit probleme de maths auquel je ne trouve pas de solution, bien que j'ai déja pas mal cherché sur le net et demandé a quelques collegues profs de maths

J'aimerai trouver une formule permettant de dessiner une "sinusoide fractal". Je ne sais pas si le terme est bien choisi...
Ce serait une sinusoide, elle meme constituée d'une sinusoide, elle meme constitué...
Le problème, c'est que je ne veux pas réaliser ceci avec une fonction du type "sin 2x + sin 4x + sin 16x ..." mais avec des fonctions qui reprendrait la fonction n-1 comme repère (l'ensemble n'est pas forcement autosimilaire)

Est ce que quelqu'un saurait si ceci est modélisable

Si oui, pourrait on me fournir quelques éléments d'explication?

Merci d'avance

vuibert · 01/11/2004, 11h42

Citation:

Posté par No place

des fonctions qui reprendrait la fonction n-1 comme repère
Merci d'avance

Pourrais-tu preciser ce que tu entends par repere?

Soren · 01/11/2004, 15h08

Il y aurait peut etre un moyen avec les fractales de "capture d'orbites" .
Je sais pas si tu as deja fait des fractales de Mandelbro (en iterant la fonction complexe Z^2 + C ) , si oui , d'habitude on "regarde" si cle module de cette fonction diverge ou pas ( module > 2 ) au bout de n iterations (usuellement 256). Et si elle diverge, on "retient" le n en question qui sert d'indice dans une palette de couleur.
ça c'est la methode classique .
Pour les "captures d'orbites" , on "regarde" si le module "tombe" dans une certaine région délimitée par une figure (un cercle centré sur l'origine, un carré , une croix , ou pourquoi pas une sinusoide "remplie" ) . Et on retient au bout de combien de "n" cela a lieu. Ensuite on indexe la palette de couleur .

Par exemple, pour un cercle on a R= 0,02 (c'est mieux en coordonnées polaires) , pour une sinusoide on aurait :

pointy < abs(sin(a*x))

martini_bird · 01/11/2004, 16h58

Salut,

si j'essaie de traduire, tu cherches une suite de fonction $f_n$ (sur [0; 2Pi] j'imagine) telle que $f_{n+1}=g(f_n)$ où g est déterminée à l'avance et ne dépend pas de n. De plus, il faut que cette suite converge vers une fonction (bizarre) qui ressemble à la description que tu as faite plus haut.

C'est bien ça? Tu as déjà une idée de construction?

No place · 01/11/2004, 23h28

Merci pour vos reflexions.

Soren, est ce que tu pourrais me donner une formule générale que je puisse rentrer dans un logiciel de representation graphique, quitte a chercher et affiner de mon coté apres? Je vois en gros de quoi tu parles, mais j'avoue ne pas savoir l'utiliser

Vuibert, le mots repere est mal choisi. La courbe serait une sinusoide, dont le "trait" serait, a un zoom superieur, une autre sinusoide, elle meme...
Une sinusoide n serait donc contitué par une autre sinusoide n+1 (ou n-1) elle meme...
En fait, d'un point de vue mathématique, je pense que l'on a jamais de sinusoide, mais l'aspect visuel est une sinusoide.
ça permettrait de modeliser un ecosysteme (une sinusoide d'information) elle meme constitué d'organisme et de minéraux (autre sinusoide plus precise), eux meme constitué de cellules, elle meme de molecule, eux meme d'atomes, eux meme de quarks, eux ... jusqu'au cordes si l'on en croit les théories actuelles.

Martini Bird, tu as parfaitement saisi le probleme. Je n'ai absolument aucune idée de realiser la construction de la chose.

Si quelqu'un peut utiliser ces quelques reponses pour fournir ne serait ce qu'un morceau de formule, ce serait enorme.

Merci d'avance

**Coincoin** · 02/11/2004, 00h01

Salut,
Ca ressemble à ça ce que tu veux ?

(Pour info, j'ai utilisé sin(x)+1/4*sin(20*x) comme formule, ici)

Soren · 02/11/2004, 01h59

Citation:

Posté par No place

Merci pour vos reflexions.

Soren, est ce que tu pourrais me donner une formule générale que je puisse rentrer dans un logiciel de representation graphique, quitte a chercher et affiner de mon coté apres? Je vois en gros de quoi tu parles, mais j'avoue ne pas savoir l'utiliser

Vuibert, le mots repere est mal choisi. La courbe serait une sinusoide, dont le "trait" serait, a un zoom superieur, une autre sinusoide, elle meme...
Une sinusoide n serait donc contitué par une autre sinusoide n+1 (ou n-1) elle meme...
En fait, d'un point de vue mathématique, je pense que l'on a jamais de sinusoide, mais l'aspect visuel est une sinusoide.
ça permettrait de modeliser un ecosysteme (une sinusoide d'information) elle meme constitué d'organisme et de minéraux (autre sinusoide plus precise), eux meme constitué de cellules, elle meme de molecule, eux meme d'atomes, eux meme de quarks, eux ... jusqu'au cordes si l'on en croit les théories actuelles.

Martini Bird, tu as parfaitement saisi le probleme. Je n'ai absolument aucune idée de realiser la construction de la chose.

Si quelqu'un peut utiliser ces quelques reponses pour fournir ne serait ce qu'un morceau de formule, ce serait enorme.

Merci d'avance

Bah la formule en question est celle de l'ensemble de Mandelbro:
en gros il faut faire une boucle de 0 a 255 (ou plus) dans laquelle tu teste le module de la fonction f(z)= Z^2 + C (C complexe)
Il faut decomposer Z et C en partie réelle(axe des x) et imaginaire (axe des y) La fonction reçoit en argument Ci reel et Cj imaginaire appliqué a tout le plan (-2 ,2) (-2,2) pour commencer ,ensuite on zoom .
C'est pas trés clair j'en ai peur mais il y a plein de programmes sur le net pour tracer l'ensemble de Mandelbro .

Mais le plus ds le cas des captures d'orbites , cest que l'on regarde au bout de combien d'iterations le module est capturé par la figure que l'on a choisi . Pour une sinusoide:
abs( point.y) < abs( k*sin( a*point.x)
Ou pour le dire autrement, on regarde pour chaque point du plan (Ci,Cj) si son iteration par (f(Zn+1)=(Zn-1)^2 + C fait tomber son transformé dans l'orbite désirée , si oui on sort de la boucle et on retient le "n" de l'iteration.

Au final on obtient des sinusoides a differentes echelles mais "deformées" par l'ensemble de mandelbro (le bonhomme en pain d'épice)

No place · 02/11/2004, 03h03

Merci Sorven d'avoir preciser ta pensée, mais le resultat me parait toujours tres aléatoire avant de trouver le pattern recherché.
Je tripote actuellement sous chaospro

Citation:

Posté par Coincoin

Salut,
Ca ressemble à ça ce que tu veux ?

(Pour info, j'ai utilisé sin(x)+1/4*sin(20*x) comme formule, ici)

Oui, ca ressemble a ça. C'est l'idée premiere que je m'en etais faite.
Mais, pour que le modèle que je cherche soit comme il faut,il faudrait que ce soit une veritable fractale. ou chaque niveau emerge du suivant.

vuibert · 02/11/2004, 04h23

Citation:

Posté par No place

Merci Sorven d'avoir preciser ta pensée, mais le resultat me parait toujours tres aléatoire avant de trouver le pattern recherché.
Je tripote actuellement sous chaospro

Oui, ca ressemble a ça. C'est l'idée premiere que je m'en etais faite.
Mais, pour que le modèle que je cherche soit comme il faut,il faudrait que ce soit une veritable fractale. ou chaque niveau emerge du suivant.

Desires-tu une formule ou un algorithme pour construire la forme? Si un algorithme te va, pourquoi ne pas prendre la methode de construction du flocon de von Koch par exemple, et changer la regle de substitution a ton gre? Sinon, a mon avis il ne faut pas chercher une fonction, parce que ton changement de repere peut faire qu'assez vite la courbe ne sera plus un graphe, car des lignes verticales risquent d'intersecter la courbe plusieurs fois. Autre chose, tu sera peut-etre interesse par les travaux de Lindenmeyer sur la modelisation des plantes par exemple a l'aide de fractales (je suggere une recherche sur "L-systems")

**Coincoin** · 02/11/2004, 07h48

Personnellement, je pense qu'une formule du type $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n sin(w_n x)$ ferait l'affaire, avec $a_n$ une suite décroissante et $w_n$ une suite croissante (il faut qu'elles varient suffisament pour qu'on puissse voir plus ou moins chaque sinusoïde). La somme infinie te donne l'aspect fractal.

martini_bird · 02/11/2004, 12h17

Citation:

Posté par Coincoin

Personnellement, je pense qu'une formule du type $\displaystyle f(x)=\sum_{n=0}^\infty a_n sin(w_n x)$ ferait l'affaire, avec $a_n$ une suite décroissante et $w_n$ une suite croissante (il faut qu'elles varient suffisament pour qu'on puissse voir plus ou moins chaque sinusoïde). La somme infinie te donne l'aspect fractal.

Rien n'est moins sûr! Pense aux séries de Fourier...

olle · 02/11/2004, 12h28

si tu fais des variations assez grandes comme il l'a dit, si.

martini_bird · 02/11/2004, 12h35

Hum... Peut-être. Vous avez un exemple sous la main?

No place · 02/11/2004, 14h07

Bonjour,

merci encore pour vos reponses.

En fait, toutes les reponses que j'obtiens tournent toujours autour de 2 idées :

* la premiere est l'addition de sinusoides d'amplitude de plus en plus faible. L'aspect global est donc celui d'une fractale, mais ça reste une additition d'effets de plus en plus petit et non une emergence de sinusoide de plus en plus vaste.

Quand on voit un organisme respirer, ce n'est que la somme de toute les respirations de toutes les cellules de cette organisme que l'on percoit en fait. Ce que l'on voit a un niveau ne doit pas etre additionner a coter de ce que l'on voit a un autre niveau...
L'idée pour representer l'idée est bonne (c'est bien sur ce que j'utiliserai si je ne trouve pas mieux), mais ne correspond pas a la realité que je voudrais modeliser.

* la deuxieme, c'est la veritable fractale, mais je ne reussis pas a trouver une formule ou un algorythme qui donne un truc qui se rapproche de ce que vous me dites

Vuibert, je prend ton algorithme avec joie. Crois tu qu'il suffirait de reitérer une sinusoide sur le segment initial pour obtenir la courbe desirée???

Merci pour vos reponses

olle · 02/11/2004, 14h31

je ne pense pas qu'il soit possible d'obtenir une vraie fractale avec des sinusoides, pour la simple raison qu'une fractacle n'est pas une fonction (plusieurs y pour un seul x).

martini_bird · 02/11/2004, 15h28

Citation:

Posté par olle

je ne pense pas qu'il soit possible d'obtenir une vraie fractale avec des sinusoides, pour la simple raison qu'une fractacle n'est pas une fonction (plusieurs y pour un seul x).

Je ne suis pas un expert dans le domaine, mais il me semble qu'il existe des fonctions que l'on qualifie de fractales (fonction de Bolzano, etc.)... non?

olle · 02/11/2004, 16h03

ah moi non plus je te rassure, c'est juste une impression sortie de ma cervelle. bref le truc que je sens le mieux c'est ce qu'a dit coincoin. maintenant c'est ptet pas ce que la personne veut, mais c'est la seule chose possible, je crois.

martini_bird · 02/11/2004, 16h35

Citation:

Posté par No place

Merci pour vos reflexions.
En fait, d'un point de vue mathématique, je pense que l'on a jamais de sinusoide, mais l'aspect visuel est une sinusoide.
ça permettrait de modeliser un ecosysteme (une sinusoide d'information) elle meme constitué d'organisme et de minéraux (autre sinusoide plus precise), eux meme constitué de cellules, elle meme de molecule, eux meme d'atomes, eux meme de quarks, eux ... jusqu'au cordes si l'on en croit les théories actuelles.

Les fractals mathématiques sont des objets que l'on rencontre finalement assez peu dans la nature et je doute qu'en biologie un modèle fractal puisse donner des résultats significatifs en dessous d'un certain seuil (millimètre ou au mieux le micromètre). Je m'explique: il y a les brocolis, les nuages, les fougères, mais à une certaine échelle, le caractère fractal s'estompe.

Je crois que l'idée d'une sinusoïde fractale conduit à une fonction dérivable nulle part... ce qui n'est pas forcément facile à manipuler ou à concevoir! A mon avis, cette sinusoïde aurait des airs de famille avec (une partie du) le flocon de Von Koch.

Il est peut-être possible de rendre compte de certaines résonnances (auto-similarité à certaines échelles) en considérant qu'un nombre fini d'itérations dans un processus fractal (ou d'un autre type!), ce qui conserverait un certain nombre de propriétés agréables...

Ceci étant, comme je ne sais pas précisément quelle est ton objectif, il m'est difficile de dire plus que des généralités.