Signe de exp(x)-exp(-x)? - Forum Mathématiques du collège et du lycée

neokiller007 · 25/11/2007, 20h34

Salut,
je dois étudier le sens de variation de la fonction cosinus hyperbolique sur R, elle est définie par:
$ch(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

Sa dérivée est: $ch'(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

ch'(x) est du signe de $e^x-e^{-x}$

$e^x-e^{-x}=0$
<=> $e^x=e^{-x}$
<=> $x=-x$
<=> $x=0$

$e^x-e^{-x}>0$
$e^x>e^{-x}$
$x>-x$ ce qui est impossible!

Elle est où l'erreur?

Merci.

Electrofred · 25/11/2007, 20h40

Bonsoir,

x>-x équivaut à 2x>0

.

Sinon si tu veux pas t'embetter avec ca $e^x-e^{-x}=e^x-\frac{1}{e^x}=\frac{(e^x)^2-1}{e^x}$ or $e^x>0$ tu étudies donc le signe du numérateur cad le signe de $(e^x-1)(e^x+1)$ ce qui revient à étudier le signe de $e^x-1$ .

Bon je te laisse finir

A+

Dydo · 25/11/2007, 20h41

Es-tu réellement sûr que c'est impossible ?

Je n'en suis pas si sûr, regarde bien :þ

Edit : Grillé

Antho07 · 25/11/2007, 20h44

Citation:

Posté par neokiller007

Salut,
je dois étudier le sens de variation de la fonction cosinus hyperbolique sur R, elle est définie par:
$ch(x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}$

Sa dérivée est: $ch'(x)=\frac{1}{2}(e^x-e^{-x})$

ch'(x) est du signe de $e^x-e^{-x}$

$e^x-e^{-x}=0$
<=> $e^x=e^{-x}$
<=> $x=-x$
<=> $x=0$

$e^x-e^{-x}>0$
$e^x>e^{-x}$
$x>-x$ ce qui est impossible!

Elle est où l'erreur?

Merci.

pourquoi c'est impossible.

$x \geq -x$
$2x \geq 0$
$x \geq 0$

et voila ch(x) est croissante sur $[0;+\infty[$
et décroissante sur $]-\infty;0]$

pour info (inutile ici)

le sinus hyperbolique est donnée par $sh(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}$

je dis cela parce qu on peut remarquer alors ici que ch'(x)=sh x
on pourrais aussi remarquer que sh'(x)=ch(x) en fesant le calcule.

neokiller007 · 25/11/2007, 20h48

Ah ben ouais je suis bête...
Faut pas trop que je tarde à allez dormir moi...

Merci.

neokiller007 · 25/11/2007, 21h17

Je dois également étudier le sens de variation de sh.
Sa dérivée (donc ch comme l'a dit Antho07) est du signe de $e^x+e^{-x}$

$e^x+e^{-x}=0$
<=> $e^x=-e^{-x}$
<=> $x=x$ or ça c'est tout le temps vrai, ce qui voudrait dire que ch est constante et égale à 0, alors que non, elle est strictement positive...

Je parie que c'est encore une erreur bête...

Forhaia · 25/11/2007, 21h34

Quel est le signe de $e^x$ ?
et de $e^{-x}$ ?

neokiller007 · 25/11/2007, 21h41

Tout les deux positifs.
Donc en fait écrire $e^x=-e^{-x}$ <=> $x=x$ c'est faux?

Quelqu'un peut me faire la démonstration?

DSCH · 25/11/2007, 22h02

Citation:

Posté par neokiller007

Donc en fait écrire $e^x=-e^{-x}$ <=> $x=x$ c'est faux?

Quelqu'un peut me faire la démonstration?

Tsss tsss… c'est à celui qui affirme que revient la charge de la preuve !

Comment démontrerais-tu cette équivalence ? Attention, la fonction exponentielle n'est pas linéaire : on ne peut pas écrire $-\mathrm{e}^{-x}=\mathrm{e}^x$ .

Forhaia · 25/11/2007, 22h06

Oui c'est totalement faux.

Tu cherche à utiliser la propriété
$e^{a}=e^{b} \Longleftrightarrow a=b$

mais ici tu as un signe moins devant l'exponentielle, donc tu ne peux pas l'utiliser.

$\forall x \in R$ $e^{-x}$ >0
donc $\forall x \in R$ $-e^{-x}$ <0

comme $\forall x \in R$ $e^{x}$ >0

l'équation $e^x=-e^{-x}$ n'a pas de solutions sur $R$

**MiMoiMolette** · 25/11/2007, 22h09

Ou bien plus simple

:

$e^{x} = - e^{-x} = - \frac{1}{e^x} \Longleftrightarrow e^{2x} = -1$

Forhaia · 25/11/2007, 22h18

C'est vrai aussi...