Somme et binôme de Newton

[Gunboy]

Bonjour,

Je voudrais vérifier avec vous mon résultat que je trouve étrange:

On nous demande de calculer pour k =< n la somme A(n,k) suivante :

A(n,k) =

Je pose alors (1 - e^x)ⁿ =

(d'après la formule du binôme de Newton);

Et en dérivant l'expression précédente k fois on trouve :

((1 - e^x)ⁿ)^(k) =

Donc :

A(n,k) = ((1 - e⁰)ⁿ)^(k) = 0.

Est-ce correct ??

Si non, comment peut on calculer cette somme ? Merci d'avance.

[Gunboy]

Je dois réctifier et préciser que ce n'est valable que si k est différent de 0.

Si k = 0 alors A(n,k) = - 1 puisque la derivee 0 c'est la fonction elle même

[Gunboy]

Envoyé par Gunboy

Bonjour,

A(n,k) = ((1 - e⁰)ⁿ)^(k) = 0.

Désolé j'ai fait une grosse erreur ici;

L'écriture correcte serait : A(n,k) = (((1 - e^x)ⁿ)^(k)) (0) qui ne me donnerait rien lol

[Kix]

Essaie de faire un developpement limité de (1-exp(x))^n à l'ordre k en 0 ca te donnera A(n,k).

[Gunboy]

Envoyé par Kix

Essaie de faire un developpement limité de (1-exp(x))^n à l'ordre k en 0 ca te donnera A(n,k).

Merci pour ta réponse,

Mais comment ça me donnerai A(n,k) ?

[Gunboy]

Et en plus je ne sais pas comment le faire car on a à peine commencer ce chapitre.. Comment calculer ce DL ?
Merci.

[Gunboy]

Voilà j'éspère que j'ai réussi à trouver;

Je le mets ici pour vérifier, et pourque la solution reste pour quiconque tombera sur cet exercice :



Posons :





D'où en dérivant k fois :



Et par suite :



1/ Pour k = 0;





2/ Pour k entre 1 et n-1;

Montrons par récurrence sur k que P_k : " où P(e^x) est un polynôme en e^x." :

• Pour k = 1 :
  
• Soit k dans [1 , n - 2] , Supposons P_k et montrons P_k+1 :
  On a :
  
  
  D'où :
  
  
  CQFD.
  
• Donc, quelquesoit k dans [1 , n - 1] :
  
  

3/ Pour k = n;

Montrons par récurrence sur n P_n : ""

• Pour n = 1, A(1,1) = -1.
• Soit n>= 1, supposons P_n et montrons P_n+1 :
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  CQFD.
  
• D'où quelquesoit n >= 1;