Retrouver valeur exacte de cos(7pi/12)... - Forum Mathématiques du collège et du lycée

wOq · 20/12/2007, 17h57

Bonjour voilà un petit problème auquel je suis confronté, et c'est bien la seul et unique question qui me bloque sur mon DM de MATHS.

Citation:

z = 2e^(i7pi/12) = 2(cos(7pi/12) + i sin(7pi/12) )

En déduire la valeur exacte de cos 7pi/12 et sin 7pi/12

Alors voila je suis bloqué, ma calculatrice me donne un resultat bien jolis (fraction racine carré etc qui donne le résultat attendus) mais voilà j'aimerai connaitre la demarche pour tomber sur le résultat.

Je vous remercie d'avance et bonne soirée

Forhaia · 20/12/2007, 18h10

Tu ne connaîtrais pas la forme algébrique de z par hasard?
Si oui, pense à t'en servir...

mb019 · 20/12/2007, 18h34

Salut ! Une indication 7pi/12=pi/4+pi/3 donc 2e^i(pi/12)=2e^i(pi/4+pi/3=2e^i(pi/4)*e^i(pi/3) et comme tu connais pi/3 et pi/4 c'est gagné ! =)

wOq · 20/12/2007, 19h52

Citation:

Salut ! Une indication 7pi/12=pi/4+pi/3 donc 2e^i(pi/12)=2e^i(pi/4+pi/3=2e^i(pi/4)*e^i(pi/3) et comme tu connais pi/3 et pi/4 c'est gagné ! =)

Dans :

2e^i(pi/12)=2e^i(pi/4+pi/3)=2e^i(pi/4)*e^i(pi/3)

Pourquoi le "7" disparait?

merci

wOq · 20/12/2007, 20h08

Bon dsl poru le double post j'ai mis trop de temps et impossible d'éditer.
L'histoire du 7pi/12 c'est surement une erreur de frappe !

Sinon je presente ca comment ?
Car je ne comprend pas trop le concept de cette question la valeur de 7pi/12 je peux l'avoir avec la calculette tout comme pi/4 et pi/3 alors pourquoi on doit chercher d'autres angles que 7pi/12?

Avec 2e^i(pi/4)*e^i(pi/3) je dois transformer ca en forme polaire pour reconnaitre le cos et le sin? Ou bien dire :

Comme :
7pi/12=pi/4+pi/3 donc 2e^i(pi/12)=2e^i(pi/4+pi/3=2e^i(pi/4)*e^i(pi/3)

Alors cos(7pi/12) = cos((pi/4) + cos(pi/3)) etc?

Car par exemple pour le cos(7pi/12) la calculette me donne une valeur exacte :
-(V3-1).V2 / 4

et il me semble que la prof attend un resultat presenté comme cela au final

merci beaucoup pour votre aide

elect2008 · 20/12/2007, 20h09

Citation:

Posté par wOq

Dans :

2e^i(pi/12)=2e^i(pi/4+pi/3)=2e^i(pi/4)*e^i(pi/3)

Pourquoi le "7" disparait?

merci

salut...

Je pense que c'est une faute de frappe c'est tout...

Tu appliques ça, c'est le bon chemin

mb019 · 20/12/2007, 20h28

Re, désolé pour la faute de frappe c'est bien $e^{i\frac{7\Pi}{12}}=e^{i\frac {\pi}{4}}*e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
Euh en revanche fait attention $cos{\frac{7\Pi}{12}}$ n'est pas égale a $cos{\frac{\pi}{4}} + cos{\frac{\pi}{3}}$ si tu souhaite passer par la directement dans ce cas la tu applique la formule $cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$ et $sin(a+b)=sinacosb-sinbcosa$ .En ce qui me concerne je te conseillerai de repasser par la forme trigonométrique du nombre complexe.

wOq · 20/12/2007, 20h31

Citation:

Posté par mb019

Re, désolé pour la faute de frappe c'est bien $e^{i\frac{7\Pi}{12}}=e^{i\frac {\pi}{4}}*e^{i\frac{\pi}{3}}$ .
Euh en revanche fait attention $cos{\frac{7\Pi}{12}}$ n'est pas égale a $cos{\frac{\pi}{4}} + cos{\frac{\pi}{3}}$ si tu souhaite passer par la directement dans ce cas la tu applique la formule $cos(a+b)=cosacosb-sinasinb$ et $sin(a+b)=sinacosb-sinbcosa$ .En ce qui me concerne je te conseillerai de repasser par la forme trigonométrique du nombre complexe.

Oui je voulais passer par la forme trigo a la base mais je ne vois pas comment faire apres avoir prouver cette egalité :
2( cos( ???) +isin(??))

Que mettre a la place des ?? Apparement pas le $cos{\frac{\pi}{4}} + cos{\frac{\pi}{3}}$

merci

mb019 · 20/12/2007, 20h48

Euh beh tu as $Z=2e^{i\frac{7\pi}{12}}=$ $2e^{i\frac{\pi}{4}}$ $e^{i\frac{\pi}{3}}$ donc sous forme trigonométrique
$Z=2[cos(\frac{\pi}{4})$ $+isin(\frac{\pi}{4})]$ $[cos({\frac{\pi}{3})$ $+isin(\frac{\pi}{3})]$ il te reste plus qu'a calculer =).
Cordialement.

wOq · 21/12/2007, 07h06

Ah super, merci

!

danyvio · 21/12/2007, 11h51

Pourquoi n'utilise t-on pas tout simplement les relations :
cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b)
sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)co s(a)

Sachant que 7 $\pi$ /12= $\pi$ /4 + $\pi$ /3 ...

mb019 · 21/12/2007, 14h16

A vrai dire c'est comme on veut mais je pense que son prof s'attend peut etre plus à passer par le forme trigonometrique de Z.Ceci dit les deux méthodes sont bonnes.
Cordialement.

M I L A S · 23/12/2007, 23h31

Petite info culturelle, c'est Gauss qui à 17ans à trouver l'écriture de pi/12 et pi/17 je crois, sous la forme de somme d'irrationnels...