Limite d'une fonction trigonométrique

[Ganash]

Yop tout le monde.

Bon je suis en plein DM de math là et je bloque sur une question.
Je dois démontrer qu'une fonction est de classe C1 sur [0,2pi[.
D'abord, j'essaie de démontrer qu'elle est dérivable sur cet intervalle. Pour ]0,2pi[, aucun problème. Maintenant, j'étudie le cas particulier en 0. Je calcule le taux daccroissement et j'obtiens :
lim (h->0) h/sin(h/2)

Je sais que cette limite vaut 2 mais je ne sais pas comment la retrouver. J'ai bien essayé de passer par l'exponentielle mais je n'ai toujours aucun résultat. Si quelqu'un avait une idée ce serait vraiment sympa !
Merci d'avance.

Ganash

[Evil.Saien]

lim (x->0) sin x = x
C'est les infiniments petits équivalents

[Ganash]

Merci beaucoup !
Je ne sais pas si je peux écrire çà étant donné qu'on ne l'a pas encore appris
N'y a t'il pas une autre méthode ? Ou alors peut on démontrer qu'une fonction est de classe C1 sans passer par des calculs de dérivées ?

Ma fonction est :

g(x)=x²/sin(x/2) si t appartient à ]0,2pi[
g(0)=0

[Geof]

Essaie de prendre la limite en 0 de 1/h, et tu devrais te ramener à peu de choses près à l'expression d'une dérivée.

Geoffrey

[romrom]

Salut,

en fait si tu prend le DL de Sin[h/2] = h\2 - h^3/48 + O[h^4] pour h voisin de 0 et que tu remplaces dans ta fraction, tu as tout de suite la limite qui vaut 2 (après réduction de fraction polynomiale.

A+

[Ganash]

Merci pour vos réponses mais je suis en math sup PCSI (début d'année vous vous en doutez), je n'ai pas vu les DL et je ne comprends pas ce que tu veux dire Geof !

[Evil.Saien]

On voit pas ca en term les infiniments petits équivalents ! J'croyais...
Pour démontrer que lim (x->0) sin x = x c'est pas si évident que ca, il faut borner des aires, enfin bref je présume que c'est pas le but de le démontrer.
Mais dans le cas de ta fonction en particulié, lim (x->0) x^2/(sin(x/2)) = 0
Y'a-t-il qq chose a voir avec ta premiere question ?

[martini_bird]

lim (x->0) sin x = x

Salut,
j'imagine que tu as fait une terminale S, donc tu es censé connaître la formule ci-dessus (démontrée en 1°S)...

[Ganash]

Lol bah je ne me rappelle pas du tout avoir vu çà mais si vous me dites que je l'ai vu alors je vais l'utiliser !
Merci beaucoup !

[Sigmar]

Je suis pas une lumière en maths mais je peux avoir la solution pour ton niveau (on peut rêver) :

lim h/sin(h/2)=lim h/(sin(0+h/2)-sin(0))
h->0

On sait que (enfin j'espère) lorsque la fonction est dérivable :
lim [f(x+h)-f(x)]/h=f'(x)

dans ce cas :
sin'(h/2)=1/2*cos(h/2)
lim h/sin(h/2)=1/(1/2*cos(0/2))=1/(1/2)=2
h->0

(et dire qu'il suffisait de faire un équivalent)

[Ganash]

Ok tu m'as donné la démonstration !
Merci beaucoup.