dual de Lp

gentelman_net · 26/12/2007, 14h16

salut
j'aimerai savoir comme montrer que le dual de L²et egale à L².
seulement les grands lignes( idées principales).
merci beaucoup.

chentouf · 26/12/2007, 15h16

Salut :
J'ai entendu parler de ça il y'a pas mal de temps !! ils disaient parceque $\ \mathcal{L}^{2}$ est hilbertien !!il y'a coincidence quelques part !! si $\ f \in \mathcal{L}^{p}$ ssi $\ f \in \mathcal{L}^{p^{*}}$ ça vient de l'inégalité de Holder avec $\ p^{*}$ le conjugué de $\ p$ c'est à dire $\ \frac{1}{p} + \frac{1}{p^{*}} = 1$ ... ! voilà pourquoi : quant $\ p = 2$ alors $\ p^{*} = 2$ aussi et vice versa !! et donc si $\ f$ appartient à l'un , elle appartient à l'autre aussi ! n'est ce pas ?

chentouf · 26/12/2007, 15h39

D'abord le dual de $\ \mathcal{L}^{p}$ est $\ \mathcal{L}^{p^{*}}$ ( On est d'accord là ... !

je sais pas pourquoi

)
Salut l'égalité de Holder est :
$\ \int |f.g| d \mu \leq ( \int |f|^{p} d \mu ) ^{\frac{1}{p}} . ( \int |g|^{p^{*}} d \mu ) ^{\frac{1}{p^{*}}}$
Pour $\ f = g$ :
$\ \int |f|^{2} d \mu \leq ( \int |f|^{p} d \mu ) ^{\frac{1}{p}} . ( \int |f|^{p^{*}} d \mu ) ^{\frac{1}{p^{*}}}$
En particulier pour $\ p = 2$ ...
$\ \int |f|^{2} d \mu \leq ( \int |f|^{2} d \mu ) ^{\frac{1}{2}} . ( \int |f|^{2} d \mu ) ^{\frac{1}{2}}$
Si $\ f \in \mathcal{L}^{p=2}$ alors $\ \int |f|^{2} d \mu < \infty$ donc $\ f \in \mathcal{L}^{p^{*}=2}$ et vice versa !!
Bonne chance !!

rhomuald · 26/12/2007, 15h44

salut,

j'y connais rien sur les duaux topologiques mais c'est ce qu'ils ont l'air de dire sur l'article de wiki http://fr.wikipedia.org/wiki/Dual_topologique#Dual_topologi que_d.27un_espace_de_Hilbert) (juste que pour $\mathcal{L}^2$ , l'inégalité de Cauchy-Schwarz doit suffire).

chentouf · 26/12/2007, 15h55

oui, moi aussi j'connais pas grand chose sur ce sujet là !! sauf que à la fin du cours !! le prof nous disait que on va faire un peu de T.D. après pour assimiler le cours et ensuite si on aurra du temps après on fera un peu de mesure produit , un peu de Fourier et un peu de dual algebrique et topologique !! mais, ils seront pas dans le contrôle !! et il commencait à nous expliquer ce que c'est que le dual topologique etc brièvement sans demos sans rien ... ! et on est arrivé à ce point là !! et voilà, je vous transmet ce que j'ai appris !!

Q'est ce t'en pense "legeniedesalpages" ? c'est beau comme domaine ,n'est ce pas ?

rhomuald · 26/12/2007, 16h09

Citation:

Posté par chentouf

oui, moi aussi j'connais pas grand chose sur ce sujet là !! sauf que à la fin du cours !! le prof nous disait que on va faire un peu de T.D. après pour assimiler le cours et ensuite si on aurra du temps après on fera un peu de mesure produit , un peu de Fourier et un peu de dual algebrique et topologique !! mais, ils seront pas dans le contrôle !! et il commencait à nous expliquer ce que c'est que le dual topologique etc brièvement sans demos sans rien ... ! et on est arrivé à ce point là !! et voilà, je vous transmet ce que j'ai appris !!

Q'est ce t'en pense "legeniedesalpages" ? c'est beau comme domaine ,n'est ce pas ?

Je ne sais pas trop, à la fac on voit ça le semestre prochain, sur mon bouquin de topo, c'est bien plus loin que là où j'en suis (et je tiens à le lire linéairement

). Pour l'instant je n'ai pas ressenti l'utilité de ces notions de duals à part pour les distributions que je vais essayer d'attaquer vers la mi-janvier, comme ça tu pourras me filer un coup de main, si t'es déjà familiarisé.

Le programme de ta fac (je sais pas dans laquelle tu es d'ailleurs) me parait plus intelligent que le mien. Tu fais pas beaucoup d'UE, mais au moins tu les approfondis bien. Nous on fait plein d'UE et on a pas le temps de les approfondir.

chentouf · 26/12/2007, 16h45

Et ben nous on fait plus de distributions cette année !! Je sais pas quant !! En deuxième semestre, on fait de l'analyse matricielle ( je sais pas ce que c'est ), proba et statistiques ( on a fait proba et statistiques en 1 er année , et je sais pas ce qu'ils vont nous enseigner dans ce module ... ils disent qu'il y'a des methodes numeriques qu'on a pas encore vu ! methode de Monté Carlo quelques choses comme ça ... ) et un projet de fin d'etude ( c'est un cours parmi de nombreux autres qu'on choisit nous même selon notre gout et on l'apprend et on passe devant un jury leur dire ce qu'on a compris ... c'est tout ) et un autre module j'ai oublié ce que c'est !! voilà bref ce qu'on a pour cette année !
Pour le cours de l'integration, il y'a pas grand difference par rapport à ce qu'on trouve par exemple sur internet !!
Sinon, j'hesiterai jamais de te donner mes acquis et savoir faires en cas ou tu en aurra besoin ... !!pour les distributions je connais pas grand chose pour le moment !! mais il disent que c'est un beau cours inspiré des travaux du mathematicien Laurent schawrtz en 46 .. 50 ... je sais pas la date exact !! c'est ça n'est ce pas ? et qui a d'enormes applications sutout en physique !! bon bref ce que je connais c'est qu'on on intègre par partie on impose certains conditions ! on obtient comme une forme bilineaire antisymetrique donc on travaille plutot sur un domaine compact ! ce qui a dans les bornes on met $\ 0$ ... bon quelques choses comme ça !!
Voilà !!

rhomuald · 26/12/2007, 17h15

Citation:

Posté par chentouf

Et ben nous on fait plus de distributions cette année !! Je sais pas quant !! En deuxième semestre, on fait de l'analyse matricielle ( je sais pas ce que c'est ), proba et statistiques ( on a fait proba et statistiques en 1 er année , et je sais pas ce qu'ils vont nous enseigner dans ce module ... ils disent qu'il y'a des methodes numeriques qu'on a pas encore vu ! methode de Monté Carlo quelques choses comme ça ... ) et un projet de fin d'etude ( c'est un cours parmi de nombreux autres qu'on choisit nous même selon notre gout et on l'apprend et on passe devant un jury leur dire ce qu'on a compris ... c'est tout ) et un autre module j'ai oublié ce que c'est !! voilà bref ce qu'on a pour cette année !
Pour le cours de l'integration, il y'a pas grand difference par rapport à ce qu'on trouve par exemple sur internet !!
Sinon, j'hesiterai jamais de te donner mes acquis et savoir faires en cas ou tu en aurra besoin ... !!pour les distributions je connais pas grand chose pour le moment !! mais il disent que c'est un beau cours inspiré des travaux du mathematicien Laurent schawrtz en 46 .. 50 ... je sais pas la date exact !! c'est ça n'est ce pas ? et qui a d'enormes applications sutout en physique !! bon bref ce que je connais c'est qu'on on intègre par partie on impose certains conditions ! on obtient comme une forme bilineaire antisymetrique donc on travaille plutot sur un domaine compact ! ce qui a dans les bornes on met $\ 0$ ... bon quelques choses comme ça !!
Voilà !!

Oui les distributions ne sont pas enseignées dans ma fac, mais elles le sont dans certaines facs qui ont un programme garni en analyse et en probas comme à bordeaux (au prix d'une formation moins généraliste).

L'analyse matricielle c'est un domaine de l'analyse numérique où tu vois essentiellement des décompostions de matrices et ses applications (élimination de Gauss-Jordan, décomposition LU, décomposition QR, cholesky, conditionnement, normes matricielles, méthode de Householder, procédé d'orthonormalisation de Gram Schmidt, suites de Sturm, etc....) on a vu ça en deuxième année, je crois que tous les cours, tds/tps sont numérisés, je pourrais t'envoyer ça à l'occasion (y a pleins de référence dedans, des parties hors programme bien grasses, des applications en mécanique bien costaud, ...). J'ai trouvé ça intéressant, d'ailleurs il y a deux bouquins intéressant sur le sujet: "Introduction de l'analyse numérique" de P. Ciarlet et "Intrduction to numerical Analysis", de Stoer & Bulirsch (la bible il parait dans ce domaine, mais en anglais).

Pour le projet de fin d'étude, c'est pratique pour approfondir un domaine, l'année dernière j'avais choisi topologie générale (la seule UE que j'ai fait en fait), je dois dire que ça m'a bien aidé à mettre en place ces notions.

J'avais entendu dire une anecdote qui dit que L. Schwartz a élaboré sa théorie des distributions pendant la seconde guerre mondiale où il était enfermé dans une cave, c'était un juif me semble-t-il.

Après ses travaux ont du être élaboré par le physicien Dirac en physique.
Mais oui mon prof de probas m'a dit qu'on part d'une IPP avec des fonctions tests, j'ai pas trop compris mais il me semble que tout est dit dans l'article de wiki, je verrais ça en janvier. (D'ailleurs je t'ai posté un message sur tes questions au sujet de la métrisabilité sur l'autre forum, je sais pas si t'as vu, et sandrine_guillerme aussi sur des histoires de théorème de Baire (pas trop compris))

gentelman_net · 26/12/2007, 20h22

merci beaucoup, je crois que j'ai résolu le problème et effectivement on doit utiliséon a besoin de montrer que L² est un espace de hilbert

gentelman_net · 28/12/2007, 20h14

pour ceux qui veullent connaître les grandes lignes
il suffit de montrer que L² est espace de HILBERT
aprés on utilise le théorème de RIEZ
et on applique le théorème à L²
on obtient que le dual de L² est egale à lui même

Ksilver · 28/12/2007, 22h14

Y a essentiellement deux facons de le voir :

en topologie, on vous dira de prouver que c'est un espace de Hilbert et de prouver le th de dualité des espaces de hilbert (un espace de Hilbert est son propre dual)

en intégration, on montrera plutot un th de dualité plus général qui dit que le dual de L^p et L^q avec 1/p+1/q=1

dans les deux cas ce sont des démonstration un peu tropg longue pour etre faite sur un forum, mais que tu trouvera facilement sur internet, ou que de toute facon tu finira par faire en cours.