diviseurs specialite maths

tanialentellais · 17/11/2004, 17h45

on a : a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3) où a et b appartiennent à Z.

Montrer que b divise a .
je sais ke b/a^4, mais de cela je narrive à conclure que b divise a ...

Si vous pouviez me donner un petit coup de main svp... c'est surement facile, mais quand on bloque...

Merci beaucoup

Evil.Saien · 17/11/2004, 17h53

Bijour,
c'est juste une piste, mais peut etre que tu peux résussir à borner b, et si tu montre que |b|<|a| alors c'est bon

Quinto · 17/11/2004, 18h01

Ca donnerait quoi que |b|<|a| ?

olle · 17/11/2004, 18h32

si b est un diviseur de a, tu peux écrire a = b*c avec c entier.
donc tu substitues a par b*c dans ton équation, et tu verras que tu obtiens une expression qui ne dépend plus que de c.

en fait tu auras alors un polynome de degré 4 en c.
comme tu sais que c est entier, tu peux utiliser la méthode d'Horner afin de trouver la racine entière de ce polynome, qui sera le c de a = b*c.

ainsi tu démontres que b est diviseur de a.

tanialentellais · 17/11/2004, 18h34

j'ai juste un petit problème... je ne connais la méthode d'Horner...
merci beaucoup...

**shokin** · 17/11/2004, 18h40

Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.

Mais comment sais-tu que b divise a^4 ? c'est plutôt a^4 qui divise b.

Et si tu écrivais plutôt :

1(a^4)-4(a^3)(b)-8(a^2)(b^2)+13(a)(b^3)+10(b^4) =0

mais quelle est donc l'astuce ?

Shokin

olle · 17/11/2004, 18h45

Citation:

Posté par shokin

Si b divise a^4, b divise aussi a, car a^4 est multiple de a, a et b étant entiers.

a=2 , b=16

b divise a^4 (=16)
b ne divise pas a

tu as inversé le raisonnement

**shokin** · 17/11/2004, 19h42

Ah ! euh ! b ne divise pas 2 ?`

ou alors je n'ai pas compris ce que voulait dire "m divise n".

Shokin

olle · 17/11/2004, 19h46

là ça devient du français :
"m divise n" = "m est un diviseur de n"
de là... tu devrais te rendre compte de certaines choses

**shokin** · 17/11/2004, 22h06

ah ! d'accord !

j'avais compris la réciproque.

Shokin

ulrich richarovitch · 17/11/2004, 22h39

Et si tu posait a=bq+r tu as donc ,deux conditions à exloiter ,ton egalité et celle suivant laquelle a^4=mb avec entier,montre que r=0 .

Evil.Saien · 18/11/2004, 08h32

Si on montre que |a|>|b| alors on sait que b divise a puisque b divise aussi a^4... En faisant la décomposition en facteur premier on s'en rend compte

Korgox · 18/11/2004, 09h04

perdu. a = 12 b = 9

a^4 = 2304 * b
pourtant 9 ne divise pas 12.

Evil.Saien · 18/11/2004, 14h01

ok... je me mets a plat ventre afin d'implorer votre absolution

Yalcin · 18/11/2004, 14h17

Bonjour
On a :
a^4 = b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)
<=> a^4-b( 4a^3 + 8 a²b - 13ab² - 10 b^3)=0
En réfléchissant bien on trouve :
<=> (a-5b)(a+2b)(a²-ab-b²)=0
a=5b ; a=-2b etc....
Cordialement Yalcin

ulrich richarovitch · 19/11/2004, 15h41

Exactement,la reponse que j'allais te donner:a^4-b(4*a^3+8*a^2*b-13*a*b^2-10*b^3)=0 soit (a+2b)*(a-5b)*(a^2-ab-b^2)=0,ce qui induit a=-2b ou a=5b ou a^2-ab-b^2=0,cette derniere equation n'a pas de solution dans Z,car en effet ce polynome de deux variables p(a,b) vaut [a-(1/2-sqrt(5)/2)*b]*[a-(1/2+sqrt(5)/2)*b] donc,s'il est nul,irremédiablement,on a:a=(1/2-sqrt(5)/2)*b ou a=(1/2+sqrt(5)/2)*b,si b appartient à Z,alors a ne peut etre dans Z,donc,on ne peut avoir à la fois a et b dans Z et p(a,b)=0.L'equation p(a,b)=0 n'a donc pas ,de racine entiere ,alors,(E) equivaut à a=-2b ou a=5b soit b/a.

jcm · 19/11/2004, 22h19

j'ai pas trouvé mieux.
la difficultée est de factoriser a^4 - b(P), qu'on peut considérer aussi bien comme un polynome en a que comme un polynome en b, de degré 4.
Comme la finalité du problème est d'arriver à a= bq...., il est logique de considérer l'expression comme un polynome en a.
De degré 4, à coefficients entiers, on le pose comme étant égal à
( a^2 + qba + tb^2 )(a^2 + uba + wb^2) et on arrive à un système par identification....fastidieux, sauf à voir avant que (-2b) est une racine évidente, pas si évidente que cela .

ulrich richarovitch · 23/11/2004, 10h42

Factoriser ce polynome de deux variables n'est pas pour autant une difficulté,on doit
montrer que a=bq ,alors pourquoi ne pas le considerer dans la relation donnée,on trouve un polynome en q de dégrée 4 qu'on factorise comme (q+2)*(q-5)*(q^2-q-1) et on substitue a/b=q,on obtient le polynoe de départ à deux variables en multipliant par b^4.