nombres complexes + comparaison de fonctions

adrislas · 17/11/2004, 20h51

Bonjour,

Dans les complexes, je n'arrive pas à résoudre l'équation : Z² = i

dans un autre exercice, je ne sais pas comment prouver que, pour tout x > -1

ln ( 1+x ) est supérieure ou égale à x/(1x)

merci de votre aide

Stephen · 17/11/2004, 21h22

Citation:

Posté par adrislas

Bonjour,

Dans les complexes, je n'arrive pas à résoudre l'équation : Z² = i

Tu cherches les racines n-ièmes d'un nombre complexe a de module p et d'argument t. Si a = 0, il n'y a que 0, sinon ce sont les n nombres complexes dont le module vaut la racine nième de n, et dont l'argument est de la forme p/n + 2kpi/n, où k parcourt o,...,n-1. Tu as de quoi faire ta première question. Je te laisse réfléchir un peu plus pour la deuxième (et trouver la véritable expression, qui doit être 1/x

)

adrislas · 17/11/2004, 21h29

j'ai pas vraiment suivi, car apparement, tu donnes l'expression de Z sous la forme trigonométrique, et le jour de ce controle, on ne l'avait pas encore vu, donc il n'y en avait pas besoin.

Et est ce qu'il serait possible d'avoir une réponse en équations ?

Korgox · 17/11/2004, 21h32

Z = a + bi

donc (a+bi)^2 = i

et voila.

Sharp · 17/11/2004, 21h32

Salut,
$z^2=i$
$e^{2i\theta}=e^{i\frac{\pi}{2} }$
$2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\theta=\frac{\pi}{4}$
ou
$\theta=\frac{-3\pi}{4}$

$z=e^{i\frac{\pi}{4}$
ou
$z=e^{i\frac{-3\pi}{4}$
Ce n'est pas très détaillé mais ça va t'aider je pense.

adrislas · 17/11/2004, 21h34

Citation:

Posté par Korgox

Z = a + bi

donc (a+bi)^2 = i

et voila.

ce n'est pas une solution ça

adrislas · 17/11/2004, 21h36

Citation:

Posté par Sharp

Salut,
$z^2=i$
$e^{2i\theta}=e^{i\frac{\pi}{2} }$
$2\theta=\frac{\pi}{2}+2k\pi$
$\theta=\frac{\pi}{4}$
ou
$\theta=\frac{-3\pi}{4}$

$z=e^{i\frac{\pi}{4}$
ou
$z=e^{i\frac{-3\pi}{4}$
Ce n'est pas très détaillé mais ça va t'aider je pense.

Je comprends mieux là, mais j'aimerais savoir comment on peut résoudre l'équation sans la notation trigonométrique et la notation d'Euler ( parce qu'à l'époque, on ne les connaissait pas encore )

Quinto · 17/11/2004, 21h56

Citation:

Posté par adrislas

ce n'est pas une solution ça

Bein non mais t'es pas dispensé de réfléchir sur la piste donnée pour trouver la solution.
(a+ib)²=i implique que ... ???

adrislas · 17/11/2004, 22h03

nan mais ça je l'ai déjà fait.

au mieux, j'aboutis à

a²-b²+i( 2ab-1 ) = 0

et là, je vois plus quoi faire

Quinto · 17/11/2004, 22h14

Si ca, ca vaut i, que peux tu dire?

adrislas · 17/11/2004, 22h20

bah je sais pas si ( a+ib )² = i

c'est que ( a+ib )² est un imaginaire pur de module 1. Avec la notation d'Euler, j'arrive à résoudre, mais je n'y arrive pas seulement avec la forme a+ib

olle · 17/11/2004, 22h35

a²-b²+i( 2ab-1 ) = 0

à gauche tu as deux termes :

un terme réel : a²-b²
un terme imaginaire : 2ab-1

tu dis toi même que ça doit valoir 0
donc les parties réelles et imaginaires doivent être = à 0

a²-b² = 0
2ab-1 = 0

adrislas · 17/11/2004, 22h36

ok, j'étais arrivé jusque là, mais on ne peut pas déterminer a et b ?

Korgox · 17/11/2004, 22h43

Tu peux procéder par substitution :

tu exprimes a en fonction de b à partir de i(2ab-1) = 0

et ensuite tu injectes ce a dans l'équation a^2-b^2 = 0 => tu auras une équation du deuxième degré avec plus qu'une seule variable b. Tu peux en tirer b, puis a. Essaie stp...

Bonne chance

A+

adrislas · 17/11/2004, 22h54

alors a = 1/(2b)

(1/(2b))²-b²=0

1/4b²-b²=0
4b^4 = 1
b^4=1/4
(b²)² - ( 1/2 )² =0
( b²-1/2)x(b²+1/2)=0
( b-1/Racine2) x(b+ 1/racine2)x(b²+1/4)=0

soit b=1/racine2
ou b = -1/racine2

pareil pour a

je me trompe ?

Korgox · 18/11/2004, 08h12

c'est juste

ah d'ailleurs c'était pas la meilleure méthode ^^' c'était plus facile de substituer la première dans la deuxième

dsl

a+