calcul de limites et de dérivés

[ptitesoso]

Bonjour. J'ai un petit pb pr terminer mon exercice, pourriez-vous m'aider svp??

j'ai f(x)= ex/^(1+x) Df=]-1;+l'infini[


Je n'arrive pas à calculer la limite de f(x) quand x tend vers + l'infini.

Ensuite, je dois calculer la dérivé f '(x) et démontrer que son signe est celui de (x-1)/(x+1). Je n'y arrive pas non plus

Merci d'avance pour votre aide.

[ptitesoso]

je me suis trompée!! c'est f(x)= ex/ (1+x)²

[jcm]

Tu poses X= x+1 x= X-1
on obtient en +inf,lim ( e^(X-1) / X^2 )
soit lim e^X / e.X^2
soit 1/e lim e^X / X^2 = 1/ex0 =0, en utilisant les thérèmes sur les limites indéterminées de référence ( croissances comparées des fonctions ln, exp, et puissances )

[Sephi]

Quand x tend vers l'infini, f(x) = / qui est une indétermination dont on peut se débarrasser avec la règle de l'hospital ...

[martial15]

réponse rapide:
1)quand tu calcule la limite en plus l'infini, tu utilises les équivalents, je sais pas si t'as vu ça en cours:
tu as donc: lim e^x/(x+1)^2 <=> lim e^x/x^2 et dans les formulaire (que tu aura au BAC, il est dit que lim x^(alpha)*e^x = + infini.

2)pour calculer la dérivée, t'utilise la formule (f/g)'= (f'g-fg')/g^2
f=e^x f'=e^x g=(x+1)^2 g'=2(x+1)=2x+2
en appliquand la formule ci-dessus: tu obtiens dérivée=(x^2-1)/(x+1)^4.

En ce qui concerne le signe , tu vois que 1 et -1 sont 2 racines et que le signe de la dérivée ne dépends que de son numérateur (dénominateur tjrs >0).
En faisant un tableau de signe de (x-1)/(x+1) tu t'aperçois que les intervalles ou les deux fonctions ont le même sigen correspondent!!!

Soit, pour te donner le solution: positif sur ]-inf;-1[ U [1;+inf[
négatif sur ]-1;1[
Rque: aucune des deux fonctions n'est définie pour x=-1

voilà, @+

[jcm]

Commences par préciser que f est dérivable sur son Dom de déf puis

Tu utilises (u/v)' = (u'v-uv')/v^2
u= e^x u'= e^x
v = (x+1)^2 v'= 2(x+1)

d'où f'(x)= ( (e^x)( x+1)^2 - (e^x)2(x+1) ) / Dénominateur carré
là on remarque la possibilité de mettre l'exponentielle en facteur ( ce qui est le cas chaque fois qu' on dérive un produit ou un quotient avec une exponentielle en facteur.
f'(x) = (e^x) ( (x+1)^2 - 2(x+1)) / dén....
f'(x) = (e^x) ( x^2 - 1) / dén
f'(x) = e^x) ( x+1)(x-1) / (x+1)^2
On simplifie numérateur et dénominateur par (x+1)
d'où le résultat.

Retenir le reflexe de factoriser systématiquement la dérivée pour étudier son signe ensuite, et remarquer que cette factorisation est immédiate quand il y a une exponentielle en facteur dans la fonction à dériver.

[ptitesoso]

merci bcp à tout le monde. bonne soirée