Exercice pour démontrer la formule de Stirling

Deeprod · 20/01/2008, 13h32

Bonjour à tous,

Je dois montrer la formule de Stirling, qui donne une equivalent de factoriel n en l'infini. Pour cela notre prof nous a donner un probleme en plusieurs questions pour y aboutir, mais voilà, j'ai un problème sur celle-ci :

Montrer : $0 \leq \int_n^{\infty} t^n e^{-t} dt \leq (n+1)^{n} e^{-n}$

J'ai beau retourner de tout les cotés, je vois vraiment pas quoi faire...

Merci pour votre aide...

God's Breath · 20/01/2008, 14h04

Citation:

Posté par Deeprod

Bonjour à tous,

Je dois montrer la formule de Stirling, qui donne une equivalent de factoriel n en l'infini. Pour cela notre prof nous a donner un probleme en plusieurs questions pour y aboutir, mais voilà, j'ai un problème sur celle-ci :

Montrer : $0 \leq \int_n^{\infty} t^n e^{-t} dt \leq (n+1)^{n} e^{-n}$

J'ai beau retourner de tout les cotés, je vois vraiment pas quoi faire...

Merci pour votre aide...

Si $P$ est un polynôme de degré $n$ et $Q = P + P' + P'' + ... + P^{(n)}$ , alors $Q' = P' + P'' + ... + P^{(n)}$ puisque la dérivée $P^{(n+1)}$ est nulle.
Par suite la dérivé de $Qe^{-t}$ est $(Q'-Q)e^{-t} = -Qe^{-t}$ .

Par suite $\int_0^{\infty} P(t)e^{-t}\,dt = \left[ -Q(t)e^{-t} \right]_n^{\infty} = Q(n)e^{-n}$ .

Il te reste à majorer $Q(n)$ lorsque $P = t^n$ .

Il me semble par ailleurs que la majoration demandée est fausse (d'après mes calculs pour $n=3$ et $n=4$ ...)

Taar · 20/01/2008, 14h49

Citation:

Posté par Deeprod

Montrer : $0 \leq \int_n^{\infty} t^n e^{-t} dt \leq (n+1)^{n} e^{-n}$

Bonjour.

Une récurrence pour $\int_{\alpha}^{+\infty} t^n \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t$ (et vérification sur un c.a.s.) m'a donné :

$\int_{n}^{+\infty} t^n \, \mathrm{e}^{-t} \, \mathrm{d}t = \mathrm{e}^{-n} (n^n + n\times n^{n-1} + n(n-1) \times n^{n-2} + n(n-1)(n-2) \times n^{n-3} +\cdots + n(n-1)(n-2)\cdots 1\times n^0)$

D'autre part, d'après le binôme :

$(n+1)^n \mathrm{e}^{-n} = \mathrm{e}^{-n} (n^n + n\times n^{n-1} + \frac{n(n-1)}{2!} \times n^{n-2} + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!} \times n^{n-3} + \cdots + \frac{n(n-1)(n-2)\cdots 1}{n!} \times n^0)$ ,

Conclusion : l'inégalité semble avoir lieu dans l'autre sens que celui que tu as donné.

Mon c.a.s. confirme pour les petites valeurs de $n$ .

Taar.

PS : fort grillé par God's Breath (red dragon breath ?)

Deeprod · 20/01/2008, 19h59

Bien merci,

On était plusieurs à avoir remarqué un problème dans cette inégalité, mais dans le doute on à rien pu conclure.