Propriété de PI

Rhedae · 18/02/2008, 14h08

Bonjour,

Est-il possible de vérifier le nombre infini de chiffres après la virgule de PI. Est-il vraiment infini ? Si c'est le cas est-il correct de dire que PI peut être entier si on le multiplie par l'infini ?

jobherzt · 18/02/2008, 14h15

Citation:

Envoyé par Rhedae

Bonjour,
Est-il possible de vérifier le nombre infini de chiffres après la virgule de PI

Oui

Citation:

. Est-il vraiment infini ?

Oui

Citation:

Si c'est le cas est-il correct de dire que PI peut être entier si on le multiplie par l'infini ?

Non, pas vraiment.... On pourrait imaginer en effet des genres d'entier avec un nombre infini de chiffres, mais il faudrait se placer dans un cadre précis et ca ne serait pas simple a manipuler.

Rhedae · 18/02/2008, 14h28

Merci jobherzt,

Sinon est-ce qu'un système métrique ou mathématique permet de rendre PI entier ? Pourrait-on par exemple partir sur une base autre que décimale qui permettrait à PI d'avoir une plus grande précision?

jobherzt · 18/02/2008, 14h39

Cette question n'a pas vraiment de sens... Deja il faut voir que Pi est ce qu'on appelle un nombre transcendant, donc a peu pres ce qui est le plus eloigné d'un entier.... Donc meme en s'amusant à "tout diviser par Pi", si tant est que ca aie un sens, on ne gagnerait absolument rien, et on obtiendrai des maths impraticable...

Il faut bien voir que le fait que Pi a une infinité de chiffres n'est absolument pas génant, donc la vraie question c'est "pourquoi on ferait ce que tu proposes ?"

Enfin, pour ce qui est de l'interpretation purement géométrique de Pi (qui n'est pas necessairement celle qui joue le plus grand role), puisque Pi est defini comme un rapport entre 2 longeurs, alors tu ne peux par definition pas normaliser, pusique il faudrait utiliser un systeme different pour la premiere et la seconde longueur...

Pour finir, sache que les mathematicien utilisent Pi comme une constante fondamentale qui a certaine propriétés, et ne se soucie absolument pas de sa valeur... on utilise la lettre $\pi$ et puis c'est tout...

Ps : ah, et quelle sens tu donnes à "donner une plus grande précision à Pi" ??? pour moi ca ne veut rien dire...

Rhedae · 18/02/2008, 22h20

Citation:

Envoyé par jobherzt

Ps : ah, et quelle sens tu donnes à "donner une plus grande précision à Pi" ??? pour moi ca ne veut rien dire...

C'était dans le sens ou si Pi était un entier en utilisant une métrique particulière , on pourrait calculer un périmètre avec plus de précision par exemple. Puisqu'il est un nombre constant j'imaginai qu'il pourrait se présenter selon la métrique utiliser sous cette forme entière. Dans les calculs actuels pour ce qui est de l'architecture, ou ce genre de calculs géométriques cela n'est pas très gênant que PI soit transcendant, mais dans d'autres cas ou le calcul a besoin d'une extrême précision et non une valeur approchée, on peu imaginer cela gênant.

Rhedae · 18/02/2008, 22h30

Sinon je pensai pas tout diviser par Pi , cela n'aurait pas de sens , mais plutôt faire en sorte que la division du périmètre par le rayon tombe toujours sur un entier . Puisque Pi est une constante suivant le mètre étalon utilisé cela me paraissait possible, ou suivant une méthode mathématique particulière .

jobherzt · 18/02/2008, 23h11

Bah justement, ca n'est pas possible puisqu'en géométrie c'est un rapport entre 2 longueur. tu auras beau changer l'unité, cela donnera toujours la meme quantité... et comme il est transcendant, si tu arrivait a en faire un entier, alors toutes les longueurs qui etaient entiere "avant" deviendrait difficile à manipuler. La au moins il n'y a qu'un nombre compliqué, et on peut le connaitre avec autant de précision qu'on veut !!!! je ne connais aucun cas ou le fait que Pi soit transcendant a posé un pb de précision...

Rhedae · 19/02/2008, 12h44

Salut jobherzt,

Citation:

Bah justement, ca n'est pas possible puisqu'en géométrie c'est un rapport entre 2 longueur. tu auras beau changer l'unité, cela donnera toujours la meme quantité...

Je comprend pas pourquoi ce rapport serait forcement transcendant dans un autre modèle métrique .

C'est là que je bloque.

Citation:

et comme il est transcendant, si tu arrivait a en faire un entier, alors toutes les longueurs qui etaient entiere "avant" deviendrait difficile à manipuler.

Ce serait des entiers dans ma conception des choses tant qu'on ne souhaite pas convertir les valeurs en décimales, de toute façon entier au pas, leur rapport serait un entier et si ce n'est pas le cas alors on pourrait en conclure que la mesure à la base était mauvaise. De toute façon on ne pourrait pas manipuler Pi entier sur une base métrique conventionnelle.

Citation:

je ne connais aucun cas ou le fait que Pi soit transcendant a posé un pb de précision...

Par exemple dans des calculs de très longues formes spirales j'imagine que le manque de précision peut s'accumuler à chaque périodicité .

jobherzt · 19/02/2008, 13h41

Bah non, vu qu'on connait Pi avec une précision arbitraire, il suffit d'en prendre une valeur suffisamment précise pour avoir une bonne valeur à l'autre bout... En plus, grace a des algos type LLL on peut trouver des fractions "petites" qui approxime Pi avec autant de precision que voulu, donc les calculs ne serait pas forcement plus long.. (par exemple, 355/113 donne Pi avec une précision de 0.0000002)

Ensuite, pour ton histoire d'entiers, je ne sais pas trop ce que tu appelles une metrique dans ton message, mais le fait que Pi soit transcendant implique que quoi que tu fasses il y a forcement un endroit ou ca va coincer.... tu ne pourras au mieux que deplacer la difficulté... Ou alors je ne comprends pas ce que tu attends, mais il semble bien que ca soit impossible... Il faut bien comprendre que ce dont tu parles n'est qu'une histoire de représentation, alors que la transcendance de Pi est une propriété mathématique fondamentale, qui ne va pas dependre de la maniere dont on représente les choses. Donc quoi que tu fasses, tu devras manipuler des approximations si tu veux calculer avec Pi en "vrai chiffre" (pas de maniere formelle), tu ne peux pas y couper

Universmaster · 19/02/2008, 14h12

Citation:

Envoyé par Rhedae

Est-il possible de vérifier le nombre infini de chiffres après la virgule de PI

Salut, je crois que c'est assez simple de démontrer que $\pi$ est irrationnel.

On raisonne par l'absurde, soit $\pi$ non rationnel, alors
$\pi = \frac{p}{q}$ avec $PGCD(p;q)=1$
$\pi ^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}\$
$q^{2} \times \pi ^{2}=p^{2}$
$\Rightarrow q^{2} | p^{2}$ $\Rightarrow q^{2} | p\times p$
$\Rightarrow q | p \times p$
Or d'après Gauss, comme $PGCD(p;q)=1$ ,
$q | p$ , ce qui est absurde car $PGCD(p;q)=1$

Donc $\pi$ est irrationel, donc avec un nombre infini de chiffres...

Cordialement, Universmaster.

Deeprod · 19/02/2008, 14h22

Tu utilise la démonstration de l'irrationalité de 2 pour démontrer celle de Pi visiblement, mais il me semble qu'il y a un probleme. Car dans le cas de racine de 2, quand on l'eleve au carré on tombe sur 2, cad a dire un entier. Ici tu utilise des resultats d'arithmetique alors que Pi² n'est pas un entier.
Tu ne peux pas déduire q² | p²

jobherzt · 19/02/2008, 14h28

Citation:

Envoyé par Universmaster

Salut, je crois que c'est assez simple de démontrer que $\pi$ est irrationnel.

On raisonne par l'absurde, soit $\pi$ non rationnel, alors
$\pi = \frac{p}{q}$ avec $PGCD(p;q)=1$
$\pi ^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}\$
$q^{2} \times \pi ^{2}=p^{2}$
$\Rightarrow q^{2} | p^{2}$ $\Rightarrow q^{2} | p\times p$
$\Rightarrow q | p \times p$
Or d'après Gauss, comme $PGCD(p;q)=1$ ,
$q | p$ , ce qui est absurde car $PGCD(p;q)=1$

Donc $\pi$ est irrationel, donc avec un nombre infini de chiffres...

Cordialement, Universmaster.

Je ne suis pas convaicnu par ta demo.... j'ai l'impression que tu as calqué celle pour $\sqrt{2}$ , sauf que ca ne marche pas du tout de la meme maniere... si ta demo etait juste, elle pourrait s'appliquer a n'importe quel nombre, puisque tu n'utilises aucune propriété de Pi. Cette demo marche pour $\sqrt{2}$ car $(\sqrt{2})^2$ est un entier (c'est pour ca qu'on passe au carré à ta deuxiemme ligne...)

Pour Pi ca ne marche plus du tout....

[edit : grillé

]

ericcc · 19/02/2008, 14h46

Citation:

Envoyé par Universmaster

Salut, je crois que c'est assez simple de démontrer que $\pi$ est irrationnel.

On raisonne par l'absurde, soit $\pi$ non rationnel, alors
$\pi = \frac{p}{q}$ avec $PGCD(p;q)=1$
$\pi ^{2} = \frac{p^{2}}{q^{2}}\$
$q^{2} \times \pi ^{2}=p^{2}$
$\Rightarrow q^{2} | p^{2}$ $\Rightarrow q^{2} | p\times p$
$\Rightarrow q | p \times p$
Or d'après Gauss, comme $PGCD(p;q)=1$ ,
$q | p$ , ce qui est absurde car $PGCD(p;q)=1$

Donc $\pi$ est irrationel, donc avec un nombre infini de chiffres...

Cordialement, Universmaster.

Démontrons que 2 est irrationnel, supposons que 2 est rationnel avec 2=p/q

$2 = \frac{p}{q}$ avec $PGCD(p;q)=1$
$2^{2}= 4 = \frac{p^{2}}{q^{2}}\$
$q^{2} \times 2 ^{2}=p^{2}$
$\Rightarrow q^{2} | p^{2}$ $\Rightarrow q^{2} | p\times p$
$\Rightarrow q | p \times p$
Or d'après Gauss, comme $PGCD(p;q)=1$ ,
$q | p$ , ce qui est absurde car $PGCD(p;q)=1$

N'y aurait il pas un léger problème dans ta démo ?

easythomas · 19/02/2008, 18h23

Il existe plusieurs démos, la plus simple étant d'obtenir une contradiction avec une intégrale bien choisie (des entiers strictement positifs qui tendent vers 0, de mémoire). La démo originale utilisait les fractions continues, et un résultat sur les liens entre nombre rationnel/développement en fractions continues.

18/02/2008, 14h08	#1
Rhedae Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bordeaux Âge: 35 Messages: 2 168	Propriété de PI Bonjour, Est-il possible de vérifier le nombre infini de chiffres après la virgule de PI. Est-il vraiment infini ? Si c'est le cas est-il correct de dire que PI peut être entier si on le multiplie par l'infini ? __________________ "Le monde contient bien assez pour les besoins de chacun, mais pas assez pour la cupidité de tous."

18/02/2008, 14h28	#3
Rhedae Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bordeaux Âge: 35 Messages: 2 168	Re : Propriété de PI Merci jobherzt, Sinon est-ce qu'un système métrique ou mathématique permet de rendre PI entier ? Pourrait-on par exemple partir sur une base autre que décimale qui permettrait à PI d'avoir une plus grande précision? __________________ "Le monde contient bien assez pour les besoins de chacun, mais pas assez pour la cupidité de tous."

18/02/2008, 14h39	#4
jobherzt Date d'inscription: janvier 2005 Messages: 695	Re : Propriété de PI Cette question n'a pas vraiment de sens... Deja il faut voir que Pi est ce qu'on appelle un nombre transcendant, donc a peu pres ce qui est le plus eloigné d'un entier.... Donc meme en s'amusant à "tout diviser par Pi", si tant est que ca aie un sens, on ne gagnerait absolument rien, et on obtiendrai des maths impraticable... Il faut bien voir que le fait que Pi a une infinité de chiffres n'est absolument pas génant, donc la vraie question c'est "pourquoi on ferait ce que tu proposes ?" Enfin, pour ce qui est de l'interpretation purement géométrique de Pi (qui n'est pas necessairement celle qui joue le plus grand role), puisque Pi est defini comme un rapport entre 2 longeurs, alors tu ne peux par definition pas normaliser, pusique il faudrait utiliser un systeme different pour la premiere et la seconde longueur... Pour finir, sache que les mathematicien utilisent Pi comme une constante fondamentale qui a certaine propriétés, et ne se soucie absolument pas de sa valeur... on utilise la lettre $\pi$ et puis c'est tout... Ps : ah, et quelle sens tu donnes à "donner une plus grande précision à Pi" ??? pour moi ca ne veut rien dire... Dernière modification par jobherzt ; 18/02/2008 à 14h43.

18/02/2008, 22h30	#6
Rhedae Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bordeaux Âge: 35 Messages: 2 168	Re : Propriété de PI Sinon je pensai pas tout diviser par Pi , cela n'aurait pas de sens , mais plutôt faire en sorte que la division du périmètre par le rayon tombe toujours sur un entier . Puisque Pi est une constante suivant le mètre étalon utilisé cela me paraissait possible, ou suivant une méthode mathématique particulière . __________________ "Le monde contient bien assez pour les besoins de chacun, mais pas assez pour la cupidité de tous."

18/02/2008, 23h11	#7
jobherzt Date d'inscription: janvier 2005 Messages: 695	Re : Propriété de PI Bah justement, ca n'est pas possible puisqu'en géométrie c'est un rapport entre 2 longueur. tu auras beau changer l'unité, cela donnera toujours la meme quantité... et comme il est transcendant, si tu arrivait a en faire un entier, alors toutes les longueurs qui etaient entiere "avant" deviendrait difficile à manipuler. La au moins il n'y a qu'un nombre compliqué, et on peut le connaitre avec autant de précision qu'on veut !!!! je ne connais aucun cas ou le fait que Pi soit transcendant a posé un pb de précision...

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19/02/2008, 13h41	#9
jobherzt Date d'inscription: janvier 2005 Messages: 695	Re : Propriété de PI Bah non, vu qu'on connait Pi avec une précision arbitraire, il suffit d'en prendre une valeur suffisamment précise pour avoir une bonne valeur à l'autre bout... En plus, grace a des algos type LLL on peut trouver des fractions "petites" qui approxime Pi avec autant de precision que voulu, donc les calculs ne serait pas forcement plus long.. (par exemple, 355/113 donne Pi avec une précision de 0.0000002) Ensuite, pour ton histoire d'entiers, je ne sais pas trop ce que tu appelles une metrique dans ton message, mais le fait que Pi soit transcendant implique que quoi que tu fasses il y a forcement un endroit ou ca va coincer.... tu ne pourras au mieux que deplacer la difficulté... Ou alors je ne comprends pas ce que tu attends, mais il semble bien que ca soit impossible... Il faut bien comprendre que ce dont tu parles n'est qu'une histoire de représentation, alors que la transcendance de Pi est une propriété mathématique fondamentale, qui ne va pas dependre de la maniere dont on représente les choses. Donc quoi que tu fasses, tu devras manipuler des approximations si tu veux calculer avec Pi en "vrai chiffre" (pas de maniere formelle), tu ne peux pas y couper

19/02/2008, 14h22	#11
Deeprod Date d'inscription: avril 2004 Localisation: Clermont Fd Âge: 21 Messages: 169	Re : Propriété de PI Tu utilise la démonstration de l'irrationalité de 2 pour démontrer celle de Pi visiblement, mais il me semble qu'il y a un probleme. Car dans le cas de racine de 2, quand on l'eleve au carré on tombe sur 2, cad a dire un entier. Ici tu utilise des resultats d'arithmetique alors que Pi² n'est pas un entier. Tu ne peux pas déduire q² \| p²

19/02/2008, 18h23	#14
easythomas Date d'inscription: janvier 2004 Messages: 181	Re : Propriété de PI Il existe plusieurs démos, la plus simple étant d'obtenir une contradiction avec une intégrale bien choisie (des entiers strictement positifs qui tendent vers 0, de mémoire). La démo originale utilisait les fractions continues, et un résultat sur les liens entre nombre rationnel/développement en fractions continues.

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