projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert

rhomuald · 23/03/2008, 18h04

Bonjour, je bloque sur cet exercice:

Soit $K$ un cône convexe fermé non vide d'un $\mathbb{K}$ -espace de Hilbert $(H,||.||)$ .

Soient $x\in H$ et $x'=proj_K(x)$ (qui est bien défini d'après le théorème d'existence et d'unicité de la projection sur un convexe non vide d'un espace de Hilbert).

Montrer que $||x||^2=||x'||^2+||x-x'||^2$ et que $\mathcal{Re}(x|x')=(x'|x')$ .

Bon pour l'instant ce que je sais, c'est que

$||x||^2=||x'+(x-x')||^2 = ||x'||^2+2\mathcal{Re}(x|x-x')+||x-x'||^2$ .

Merci pour votre aide.

Garf · 23/03/2008, 23h32

Soit x' la projection de x sur le cône. Supposons x' non nul (s'il est nul, le résultat est immédiat).
Considérons la projection orthogonale q sur Vect(x').
Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.
Donc q(x) appartient à la demi-droite [0,x'[.
Alors q(x) et x' coïncident. En effet, x' est plus proche de x que tout autre point de [0,x'[, et partant de là de Vect(x'), ce qui est une définition de la projection orthogonale sur Vect(x').
Le résultat en découle par Pythagore.

rhomuald · 29/03/2008, 15h07

Bonjour, je ne vois toujours pas pourquoi sosu ces conditions x est plus proche de 0 que de x' ?

Citation:

Envoyé par Garf

Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.

rhomuald · 29/03/2008, 15h39

bon en fait cette notion de "projeté orthogonal sur un cône" n'est pas clairement définie pour l'instant.

Cependant on l'a vu pour un sous-espace fermé (à la place de cône fermé convexe),

donc en notant $C$ le cône considéré, il faudrait voir que

$C\cap \{x\}^{\perp}$ est non vide, et voir si il existe un unique $y_0\in C$ tel que

$||x-y_0||=\inf_{y\in C\cap \{x\}^{\perp}} ||x-y||$ .

On pourrait définir ainsi le projeté orthogonal de $x$ sur ce cône.

rhomuald · 29/03/2008, 15h44

ok, bon en fait le seul point qui me dérange encore c'est le fait qu'on a forcément $C\cap \{x\}^{\perp}$ non vide.

rhomuald · 29/03/2008, 16h04

Citation:

Envoyé par Garf

Considérons la projection orthogonale q sur Vect(x').
Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde.

Autant (au temps?) pour moi, tu faisais pas un projeté orthogonal sur le cône mais bien sur un sous-espace fermé

rhomuald · 29/03/2008, 16h27

Par contre je vois toujours pas pourquoi x est plus proche de 0 que de x',

tout ce que je vois c'est que q(x) est plus proche de 0 que de x'.

rhomuald · 29/03/2008, 16h56

donc si $q(x)\in )-x',0]$ ,

je dois montrer que $||0_H-x||\leq ||x-x'||$ sachant que $||x||=\sqrt{||x-q(x)||^2+||q(x)||^2}$ .

Je ne vois pas le truc ?

rhomuald · 29/03/2008, 17h29

ok j'ai trouvé finalement

Déjà 0 est dans le cône $K$ , car $K$ est fermé par hypothèse.

Si $q(x)\in )-x',0]$

Ensuite on a

$||0-x||=||x|| = \sqrt{||x-q(x)||^2+||q(x)||^2}$ (par Pythagore)

$\leq \sqrt{||x-q(x)||^2+||q(x)-x'||^2}$ car $||q(x)||\leq ||q(x)-x'||$ ,

$=||x-x'||$ (par Pythagore)

Merci Garf

23/03/2008, 18h04	#1
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert Bonjour, je bloque sur cet exercice: Soit $K$ un cône convexe fermé non vide d'un $\mathbb{K}$ -espace de Hilbert $(H,\|\|.\|\|)$ . Soient $x\in H$ et $x'=proj_K(x)$ (qui est bien défini d'après le théorème d'existence et d'unicité de la projection sur un convexe non vide d'un espace de Hilbert). Montrer que $\|\|x\|\|^2=\|\|x'\|\|^2+\|\|x-x'\|\|^2$ et que $\mathcal{Re}(x\|x')=(x'\|x')$ . Bon pour l'instant ce que je sais, c'est que $\|\|x\|\|^2=\|\|x'+(x-x')\|\|^2 = \|\|x'\|\|^2+2\mathcal{Re}(x\|x-x')+\|\|x-x'\|\|^2$ . Merci pour votre aide.

23/03/2008, 23h32	#2
Garf Date d'inscription: juillet 2007 Localisation: Paris Âge: 20 Messages: 183	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert Soit x' la projection de x sur le cône. Supposons x' non nul (s'il est nul, le résultat est immédiat). Considérons la projection orthogonale q sur Vect(x'). Si q(x) appartient à la demi-droite ]-x',0] : x est plus proche de 0 que de x'. C'est absurde. Donc q(x) appartient à la demi-droite [0,x'[. Alors q(x) et x' coïncident. En effet, x' est plus proche de x que tout autre point de [0,x'[, et partant de là de Vect(x'), ce qui est une définition de la projection orthogonale sur Vect(x'). Le résultat en découle par Pythagore.

29/03/2008, 15h39	#4
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert bon en fait cette notion de "projeté orthogonal sur un cône" n'est pas clairement définie pour l'instant. Cependant on l'a vu pour un sous-espace fermé (à la place de cône fermé convexe), donc en notant $C$ le cône considéré, il faudrait voir que $C\cap \{x\}^{\perp}$ est non vide, et voir si il existe un unique $y_0\in C$ tel que $\|\|x-y_0\|\|=\inf_{y\in C\cap \{x\}^{\perp}} \|\|x-y\|\|$ . On pourrait définir ainsi le projeté orthogonal de $x$ sur ce cône.

29/03/2008, 15h44	#5
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert ok, bon en fait le seul point qui me dérange encore c'est le fait qu'on a forcément $C\cap \{x\}^{\perp}$ non vide.

29/03/2008, 16h27	#7
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert Par contre je vois toujours pas pourquoi x est plus proche de 0 que de x', tout ce que je vois c'est que q(x) est plus proche de 0 que de x'.

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29/03/2008, 16h56	#8
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert donc si $q(x)\in )-x',0]$ , je dois montrer que $\|\|0_H-x\|\|\leq \|\|x-x'\|\|$ sachant que $\|\|x\|\|=\sqrt{\|\|x-q(x)\|\|^2+\|\|q(x)\|\|^2}$ . Je ne vois pas le truc ?

29/03/2008, 17h29	#9
rhomuald Date d'inscription: décembre 2007 Âge: 22 Messages: 752	Re : projection sur un convexe fermé dans un espace de Hilbert ok j'ai trouvé finalement Déjà 0 est dans le cône $K$ , car $K$ est fermé par hypothèse. Si $q(x)\in )-x',0]$ Ensuite on a $\|\|0-x\|\|=\|\|x\|\| = \sqrt{\|\|x-q(x)\|\|^2+\|\|q(x)\|\|^2}$ (par Pythagore) $\leq \sqrt{\|\|x-q(x)\|\|^2+\|\|q(x)-x'\|\|^2}$ car $\|\|q(x)\|\|\leq \|\|q(x)-x'\|\|$ , $=\|\|x-x'\|\|$ (par Pythagore) Merci Garf

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