Démontrer que cette fonction est impaire.

[neokiller007]

Salut,

j'ai une fonction définie sur R qui peut s'écrire de trois façons:




Je dois démontrer que f est impaire.
Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.
J'ai alors essayé de calculer f(-x) pour -f(x) pour voir si j'arrivais à la même chose, mais toujours pas.
Alors j'ai essayé de calculer f(-x)+f(x) mais j'arrive jamais à zéro...

Y a-t-il une astuce?

Merci.

[deep_turtle]

Pour chacune des formes j'ai essayé de partir de f(-x) pour arriver à -f(x), sans succès.

Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...

[Romain-des-Bois]

Salut,

si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.

En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive


Romain

[neokiller007]

Envoyé par deep_turtle

Avec la première, en multipliant le numérateur et le dénominateur apparaissant dans la forme f(-x) par exp(-x), ça marche tout seul normalement...

J'obtiens
Donc je suis un peu bloqué...

Envoyé par Romain-des-Bois

Salut,

si en calculant f(-x) tu n'arrives pas à trouver - f(x) ou en calculant -f(x) tu ne trouves pas f(-x), tu peux aussi (de manière générale pas que pour cet exo) calculer f(-x) - (-f(x)) = f(-x)+f(x) et voir que ça fait 0.

En général, en partant de ça, en faisant tous les calculs possibles... On y arrive

Oui j'ai aussi dit que j'avais essayé pour les trois formes, mais j'y arrive pas non plus.

[Romain-des-Bois]

f(-x) + f(x) = (1-exp(-x))/(1+exp(-x)) + (1-exp(x))/(1+exp(x))
donc
f(-x) + f(x) = [(1-exp(-x))(1+exp(x)) + (1-exp(x))(1+exp(-x))] / (...)

d'où f(-x) + f(x) = 0 (en développant)



EDIT :
avec la forme que tu as, tu peux factoriser par exp(-x)...

[x-lue-x]

alors, au cas où la réponse de Romain des bois ne te conviendrais pas, je te dis ce que je ferais :
Tu commences par réduire la première expression de f(x) c'est à dire que tu mets -(1+e^x) au lieu de 1-e^x. Grâce à ça, tu peux barrer le (1+e^x) au numérateur et au dénominateur, et il te reste comme ça -1/1 soit -1
Donc ça te donne f(x) = x-1

Par contre, là il y a un problème! Parce que f(-x) n'est ps égal à -f(x) ... Et pourtant je ne vois pas où ma démarche pourrait être fausse... Tu es sûr que tu as bien recopier l'énoncé?

[x-lue-x]

PS : Si tu réussis, n'oublies pas que : Pour que f soit impaire, il faut que son ensemble de définition soit symétrique par rapport à zéro.

[neokiller007]

Merci Romain-des-Bois, ça marche.
Par contre si je factorise par exp(-x) j'obtiens -x+(1-exp(-x))/(1+exp(-x))

Oui j'ai pas oublié de dire que le domaine était symétrique par rapport à zéro.

[deep_turtle]

Oups, dans mon message d'avant il fallait lire "multiplier par exp(x)" et non exp(-x)...

[neokiller007]

Ah, ça marche tout de suite mieux et c'est super rapide, merci.