Nombres palindromiques divisible par 11 - Forum Mathématiques du collège et du lycée

LightVador · 29/03/2008, 22h19

Salut à tous!

En m'amusant à réfléchir (...), j'ai découvert que tous les nombres palindromiques à chiffres pair supérieur ou égal à 4 sont divisibles par 11. Est-ce vrai?

Merci.

Flyingsquirrel · 30/03/2008, 10h00

Salut

Oui, c'est "normal". Si un nombre palyndromique $n$ s'écrit $n=(a_1a_2\ldots a_pa_p \ldots a_2 a_1)$ on peut le décomposer en
$n=\sum_{k=1}^{p} a_k10^{k-1}+\sum_{k=1}^{p} a_k10^{2p+1-k} = \sum_{k=1}^{p}a_k\left( 10^{k-1}+10^{2p+1-k}\right)$
Le terme $10^{k-1}+10^{2p+1-k}$ correspondant à 110 et 1001 dans 3443=4*110+3*1001. Ensuite, en montrant que ces termes sont tous divisibles par 11, (par récurrence par exemple) on obtient le résultat voulu.

**MiMoiMolette** · 30/03/2008, 10h23

Salut,

On peut aussi remarquer que :

- on prend la somme des chiffres pris 1 fois sur 2 (ie pour les puissances de 10 paires)
- on prend la somme des autres chiffres

Si leur différence est nulle ou multiple de 11, alors c'est divisible par 11

LightVador · 30/03/2008, 11h23

Justement, c'est ce résultat que je connaissais, seulement j'ignorais que ca marchait aussi dans le cas où la différence est nulle...quand j'ai compris ça, ça m'a naturellement mené à regarder les nombres palindromiques => en utilisant cette technique, on trouve 0.

et merci Flyingsquirrel pour la démo

LightVador · 30/03/2008, 13h30

Y a t-il une technique de calcul pour pouvoir trouver le quotient d'un nombre palindromique divisé par 11 de tête? Il devrait existé une relation entre le nombre palindromique et le quotient non?
J'ai cherché mais je n'aboutis a rien.
Merci

**MiMoiMolette** · 30/03/2008, 13h35

Pour un palindrome de longueur paire, ben c'est 0

Flyingsquirrel · 30/03/2008, 14h18

@ MiMoiMolette : la question c'est "calculer n/11 pour n palindromique de longueur paire" et ça fait rarement 0.

Ce qui est marrant c'est que si les chiffres décroissent du centre vers les extrémités (avec les notations du message 2 : $a_1\leq a_2 \leq \ldots \leq a_p$ ) on retombe sur un nombre palindromique de longueur impaire.

**MiMoiMolette** · 30/03/2008, 15h00

Je sais très bien faire la différence entre quotient et reste !

Désolée ^^'

Citation:

Ce qui est marrant c'est que si les chiffres décroissent du centre vers les extrémités (avec les notations du message 2 : ) on retombe sur un nombre palindromique de longueur impaire.

Pas compris cette phrase oO

On tombe bien sur un nb palindromique de longueur impaire pour le quotient, quant à trouver une relation immédiate, bah ça, c'est autre chose !

Flyingsquirrel · 30/03/2008, 15h11

Par exemple pour 123321 on a $3\geq2\geq1$ (les chiffres décroissent quand on s'éloigne du "centre" du nombre) et 123321/11=11211 qui est palindromique de longueur impaire.
Par contre, ça ne marche plus pour 321123, $1\leq 2 \leq3$ (les chiffres croissent quand on s'éloigne du "centre") et 321123/11=29193 qui n'est pas palindromique.