Quaternions de Hamilton

rhomuald · 27/04/2008, 16h28

Bonjour,

Je cherche à montrer que l'ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions d'Hamilton est un corps.

Déjà on dit que $\mathbb{H}$ est l'ensembles des couples $(r,u)\in \mathbb{R}\times E$ où $E$ désigne l'espace euclidien orienté de dimension 3,
et qu'il hérite de manière canonique d'une structure de $\mathbb{R}$ -espace vectoriel de dimension 4.
On choisit une base orthonormée directe $(i,j,k)$ de $E$ .

On définit ensuite une multplication sur $\mathbb{H}$ notée $\times$ par la formule suivante:

$(r,u)\times (s,v) = (rs-u.v,rv+su+u\wedge v)$ .

J'ai vérifié que $(\mathbb{H},+,\times)$ est anneau, il me reste à montrer que les éléments non nuls sont inversibles.
Mais là je ne vois pas comment m'y prendre.

Merci pour votre aide.

God's Breath · 27/04/2008, 16h43

Bonjour,

Citation:

Posté par rhomuald

Je cherche à montrer que l'ensemble $\mathbb{H}$ des quaternions d'Hamilton est un corps.

$(r,u)\times (s,v) = (rs-u.v,rv+su+u\wedge v)$ .

Ce n'est certes pas la définition la plus pratique pour atteindre la structure de corps.
Calcule $(r,u)\times (s,-u)$ ... cela te donnera peut-être des idées.

rhomuald · 27/04/2008, 16h50

Merci bien.

rhomuald · 27/04/2008, 18h13

Je trouve

$(r,u)\times (s,-u)= (rs+u.u,(s-r)u)$

mais comment trouver l'inverse de $(r,u)$ avec ça?

God's Breath · 27/04/2008, 18h23

Citation:

Posté par rhomuald

$(r,u)\times (s,-u)= (rs+u.u,(s-r)u)$

Donc $(r,u)\times (r,-u)= (r^2+u.u,0)$ et on se rapproche de l'inverse de $(r,u)$ .

rhomuald · 27/04/2008, 18h46

Citation:

Posté par God's Breath

Donc $(r,u)\times (r,-u)= (r^2+u.u,0)$ et on se rapproche de l'inverse de $(r,u)$ .

ah oui merci, je vois c'est comme pour les complexes en fait,

on définit $N((r,u))=r^2+u.u$ et on a donc $(r,u)^{-1}=N((r,u))^{-1}(r,-u)$

(et donc $(r,-u)$ aurait un rôle de conjugué par rapport à $(r,u)$ ?)

Ksilver · 27/04/2008, 19h14

Salut !

en effet, (r,-u) s'apelle le conjugué et on le note q*. et on note que * est un antimorphsime c'est à dire que :

(ab)*=b*.a*

rhomuald · 27/04/2008, 19h28

Citation:

Posté par Ksilver

Salut !

en effet, (r,-u) s'apelle le conjugué et on le note q*. et on note que * est un antimorphsime c'est à dire que :

(ab)*=b*.a*

Merci pour ces informations KSilver