fonction dérivable UNE SEULE FOIS dans R...

[jecario]

Je suis à la recherche d'une fonction définie dans R (donc pas dans le domaine complexe...) mais dérivable une seule fois !
Est ce que quelqu'un en connaît une ?

[BS]

?

[jecario]

" x² . sin(1/x) " est dérivable plus d'une fois... :
En effet, si f(x) = x² . sin(1/x),
on a f'(x) = -cos(1/x) + 2x.sin(1/x).
et f''(x) = -1/x².sin(1/x) + 2.sin(1/x) - 2/x.cos(1/x).
Or je cherche une fonction f n'admettant pas de dérivée seconde... donc dont f'() existe, mais pas f''().

[Quinto]

La fonction citée par BS n'admet pas de dérivée seconde sur R, donc ca marche. (il semble que 0 soit une singularité essentielle...)

Pour répondre à ta remarque, une fonction complexe, ne peut pas être dérivable qu'une seule fois...

[Quinto]

Autre chose, si tu veux avoir une telle fonction, pourquoi ne pas prendre une fonction continue par morceau, mais présentant une discontinuité, par exemple:
0 sur R-
1 sur R+
Tu l'intègres 2fois, tu as donc une, qui est dérivable, mais pas 2fois dérivable...

[jecario]

Envoyé par Quinto

il semble que 0 soit une singularité essentielle...

Remarque particulièrement, fondée : je n'avais pas remarquée que la fonction proposée par BS n'est pas définie sur R mais sur R-{1} .

En fait, je cherche une fonction dérivable une et une seule fois sur R, mais dont l'ensemble de définition au départ est R dans son intégralité. En revanche, l'ensemble de définition de la dérivée première ne doit pas être R.

L'expression proposée par BS n'est pas définie en x=0 ; elle ne correspond donc pas à ce que je cherche !
Merci malgré tout pour cette aide...

[monnoliv]

Et ceci ?
f(x) = x^2 si x>=0
f(x) = -x^2 si x<0

[Quinto]

Non, tu ne comprends pas, la fonction de BS est prolongeable en 0, ce qui est évident, tandis ce que sa dérivée non.

Donc ca marche...

[BS]

Oui on pose f(0)=0. La fonction de Monnoliv marche aussi.
Maintenant si tu veux voici encore un autre exemple. On prend une fonction f continue mais dérivable en aucun point, il me semble par exemple que
convient.
Comme elle continue, on peut considérer une primitive F. Alors F est C^1 sur R mais sa dérivée n'est dérivable en aucun point. Remarque que ma première fonction n'était pas C^1...

[jecario]

Envoyé par Quinto

la fonction de BS est prolongeable en 0, ce qui est évident, tandis ce que sa dérivée non.

Je ne vois pas comment cette fonction peut être "prolongeable" en 0, puisque l'expression 1/x (contenue dans le sin(...) ) ne permet pas de définir la fonction en 0... à moins de poser f(0) = 0, mais là, il faut imposer la condition.
Et la dérivabilité n'est pas établie en 0 pour cette fonction. Elle n'est donc pas C^1, en effet.

Par contre, on peut effectivement utiliser la série pour résoudre mon problème. Reste à trouver une primitive ...

[Quinto]

Je ne vois vraiment... mais vraiment pas ou est le probleme...
|sin(x)|<1
0<|x²sin(1/x)|<x²

donc lorsque x tend vers 0 x²sin(1/x) tend vers 0.

[jecario]

à mon avis (aurai je tort ?), le problème ne se pose pas d'avoir ou non une limite en 0, mais d'avoir une fonction définie et dérivable en 0.

Pour la dérivabilité, on calcule la limite quand h tend vers 0, de
(1/h)*( f(x+h)-f(x) ) et on voit si la limite existe.
Par contre, dans ce cas-ci, je tombe sur un cas indéfini du type 0/infini .

[Quinto]

0/infini n'est pas indéfini.
Et pour la nieme fois,la fonction x²sin(1/x) est prolongeable en 0, et dérivable partout sur R...

[jecario]

Autant pour moi. Les vacances ne sont pas bonnes pour réfléchir.
Je retiens donc x².sin(1/x) comme valable...
Merci beaucoup !