Extrema globaux

[invite897d6063]

Bonjour,
je vous explique mon souci :
j'ai une fonction à plusieurs variables (en l'occurrence 2 , x et y) et je dois déterminer les extrema globaux. J'ai compris comment trouver d'abord les extrema locaux. ça c'est clair. Je sais aussi qu'il y a une différence si le domaine est un ouvert ou un compact. J'aimerai déjà comprendre comment trouver les extrema globaux sur un ouvert .
Par exemple pour montrer que p est un minimum global de f, je dois montrer que f(x,y) > f(p) Mais comment je fais ça ??
merci à ceux qui prendront le temps de me répondre !
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[invite3482538a]

http://forums.futura-sciences.com/thread221625.html

Pour éviter que le sujet s'éparpille ^^

[invite35452583]

Un minimum global est un minimum local (qui peut le plus peut le moins).
Une fois que les minima locaux sont déterminés, on regarde quel est le plus petit (dans la pratique c'est assez facile). S'il n'y en a pas de plus petit,, c'est rare mais on ne peut exclure ce cas (exemple : une famille dénombrable de minima locaux sans élément minimal comme {minima}={1/n ; n dans N*}).
Si un ou plusieurs des minima (=m, valeur unique mais pouvant être atteints en plusieurs points) sont les plus petits de tous il est le seul candidat pour être le minimum global.

Celui-ci peut néanmoins ne pas être un minimum global (exemple : le graphe de f a une forme de volcan avec un cratère bouché et dont les flancs "descendent" en tendant vers une hauteur nulle quand on s'éloigne du centre, il y a un seul minimum local, situé "au milieu", mais la hauteur en dehors du volcan est plus basse que ce minimum local.).
Montrer que c'en est pas un n'est pas difficile en général : il suffit d'exhiber un couple (x;y) tel que f(x,y)<m.
Pour montrer que c'en est un, dans la plupart des cas on arrive à montrer qu'en dehors d'un fermé borné (de l'ev dans lequel on est placé) f(x)>=m, f sur ce fermé borné admet un minimum car un fermé borné est un compact. Or, ce minimum ne peut être que m.

[invite986312212]

salut,

effectivement les ouverts et les compacts se comportent différemment: sur un compact il y a toujours un minimum global, sur un ouvert pas toujours. Par contre sur un ouvert, s'il y a un minimum il vérifie l'équation d'Euler (la dérivée s'y annule) alors que ce n'est pas nécessairement vrai sur un compact.

[A voir en vidéo sur Futura]