coordonnées barycentriques et coordonnées cartésiennes

rhomuald · 08/06/2008, 21h34

Bonsoir,

j'ai un problème de géométrie qui me pose problème depuis quelques temps:

On se place dans un hyperplan affine $\mathcal{F}$ de $\mathbb{R}^n$ ne contenant pas l'origine $O$ .

On considère $(A_1,...,A_n)$ un repère affine de $\mathcal{F}$ .

1) Montrer que $(\vec{OA_1},...,\vec{OA_n})$ est une base de $\vec{\mathcal{F}}$ .

2) Comparer les coordonnées cartésiennes d'un point $M$ de $\mathcal{F}$ dans le repère $(O;\vec{OA_1},...,\vec{OA_n})$ et les coordonnées barycentriques normalisées dans le repère affine $(A_1,...,A_n)$ .

Pour la 1), je considère $n$ scalaires $\lambda_1,...,\lambda_n$ tels que

$3$\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i \vec{OA_i} = \vec{0} = (\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i) \vec{0} = (\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i) \vec{OO}$ .

( $\vec{0}$ désignant le vecteur nul).

Si $\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i \neq 0$ alors $O$ serait barycentre des points $A_i$ munis des poids respectifs $\lambda_i$ ce qui est impossible car $O\notin \mathcal{F}$ .

C'est pour le cas où $\Bigsum_{i=1}^n \lambda_i = 0$ où je galère.

Merci pour votre aide.

God's Breath · 08/06/2008, 21h47

Bonsoir rhomuald,

Citation:

Posté par rhomuald

On se place dans un hyperplan affine $\mathcal{F}$ de $\mathbb{R}^n$ ne contenant pas l'origine $O$ .

On considère $(A_1,...,A_n)$ un repère affine de $\mathcal{F}$ .

1) Montrer que $(\vec{OA_1},...,\vec{OA_n})$ est une base de $\vec{\mathcal{F}}$ .

Il y a comme un problème.
Si le point $A_i$ appartient à $\mathcal{F}$ , alors que $O$ ne lui appartient pas, le vecteur $\vec{OA_1}$ n'appartient pas à $\vec{\mathcal{F}}$ , et c'est mal parti pour une base.
D'autant que l'hyperplan est de dimension $n-1$ alors que ta prétendu base est constituée de $n$ vecteurs.

Ne faut-il pas lire : "montrer que $(\vec{OA_1},...,\vec{OA_n})$ est une base de $\mathbb{R}^n$ ." ?

rhomuald · 08/06/2008, 22h28

bonsoir gb,

oui effectivement, je me suis trompé, c'est bien $\mathbb{R}^n$ .

God's Breath · 08/06/2008, 22h38

Citation:

Posté par rhomuald

bonsoir gb,

oui effectivement, je me suis trompé, c'est bien $\mathbb{R}^n$ .

Si $\sum_{i=1}^n\lambda_i\vec{OA_i } = \vec{0}$ , le fait que $O$ ne soit pas barycentre des points $A_i$ impose $\sum_{i=1}^n\lambda_i = 0$ .
Mézalor, la fonction de Leibniz est constante : $\sum_{i=1}^n\lambda_i\vec{OA_i } = \sum_{i=1}^n\lambda_i(\vec{OA_ 1} +\vec{A_1A_i}) = \sum_{i=2}^n\lambda_i\vec{A_1A _i} = \vec{0}$
et le fait que l'on a un repère affine devrait te permettre de conclure.

rhomuald · 09/06/2008, 01h57

D'accord j'ai compris, je ne connaissais pas ces fonctions de Leibniz.

Merci gb.