Dérivé...

[Lightnicer]

Une pallisade de 2,7 m de hauteur est parallèle à un mur, dont elle est séparée de 0,1 m .
Quelle est la longueur minimale d'une echelle qui s'appuie sur le mur et passe par-dessus la palissade ?

Choisissons un repére orthornormal dans lequel l'équation réduite de "d" sera la plus simple possible, c a d un repére d'origine O.
Choisissons aussi une variable en fonction de laquelle nous exprimerons AB.
Nous allons prendre le coefficient directeur de "d",que nous noterons "m". Remarquez que les choix faits impliquent m>0

1°)Ecrivez des équations de "d" et de ,et deduisez-en les coordonnées des points A et B en fonction de "m".

2°)Exprimez AB en fonction de "m".Posez AB=f(m)

3°)Nous allons utiliser le theoreme T suivant:
f est une fonction sur un intervalle I. Si f²(a) est le minimum de f² sur I, alors f(a) est le minimum de f sur I (ce théorème reste vrai avec "maximun").

a)Verifiez que la dérivée de la fonction f², c a d de la fonction f² : m AB² , est définie par (f²)'(m)= [[0,2(0,1m+2,7)]/m3 ](m3-27)

b)Determinez le signe de cette derivee sur ]0;+ , puis dressez le tableau de varitions de la fonction f² . Deduisez-en , à l'aide du théoreme T , le minimum de f , c a d a longueur minimal de l'échalle.

c)Démontrez le théoreme T


MERCI d'avance
Voici les figures..

[erik]

Bonjour,

avec l'aide des graphiques, l'énoncé est trés clair, je pense que le plus simple et le plus profitable pour la suite de tes études est que tu fasse l'exercice.

Bon travail
Erik

[shokin]

Il faudrait connaître l'épaisseur de la pallissade. Pour connaître la localisation du point de contact entre l'échelle et la pallissade.

Imagine que le mur soit l'axe des x, le sol soit l'axe des ordonnées et ton point G(g1;g2) (point de contact entre l'échelle et la pallissade) que tu situeras alors par rapport à ce repère orthonormé !

Soit alors la droite de pente négative et qui passe par G.
Elle coupe les axes des et des y respectivement en X et Y.

Tu cherches cette droite telle que la distance XY soit minimale.

Au lieu de chercher les équations des droites, tu définis l'inconnue, par exemple m dans M(m;0), M étant le point d'intersection de cette droite recherchée et l'axe des x (le point de contact entre l'échelle et le mur).

Connaissant G(g1;g2), tu peux établir la distance entre G et M en fonction de m.

Tu peux également trouver (tu as des triangles rectangles semblables !) s de S(0;s), S étant le point d'intersection de cette droite recherchée et l'axe des y (le point de contact entre l'échelle et le sol).

Connaissant S(0;s), tu peux établir la distance entre S et G.

Puis donc la distance entre S et M (G étant un point du segment SM), le tout en fonction de m.

Tu trouveras donc f(m)=longueur de l'échelle.

Que tu dériveras... tu connais la suite.

C'est énoncé autrement, avec une autre méthode, mais tu devrais trouver la même réponse.

NB. : mon m ne correspond pas à ton m.

Intuitionnellement, je me dis que les points S et M seront tels que les triangles OGM et OGS seront isocèles tous deux en G. [Que m vaudra 2 fois g1 et s vaudra deux fois g2.] Mais peut-être me trompé-je.

Shokin