problème étrange

[chimix]

bonjour,

J'ai un petit problème au niveau d'un exercice que je n'arrive pas à résoudre car il est tout de même assez particulier (enfin jamais on ne nous avait donné un tel exercice)
J'ai beau l'aborder de plusieurs facons différentes mais je n'y parviens pas car cela n'aboutit à rien (ou presque).
Pourriez vous me donner des éléments de réponses ou des pistes viables pour le commencer.
voici l'énoncé:
1)exp est une fonction dérivable sur R
2) sa fonction dérivée , notée exp', est telle que, pour tout réel x : exp'(x) = exp(x)
3)exp(0) = 1
En utilisant que ces 3 propriétés de la fonction exp, démontrer successivement que:
-Pour tout réel x, exp (x) *exp(-x) = 1
-Pour tout réel a et pour tout réel b, exp(a+b) = exp(a) * exp(b)

La difficulté réside dans le fait qu'il faut démontrer ces 2 théorèmes dans l'ordre et uniquement avec les 3 propriétés citées précédemment (autant dire que le concepteur de cet exo n'a pas choisi la facilité)

En vous remerciant d'avance pour vos éléments de réponse...

[erik]

Salut,

pour le premier point :
tu consideres la fonction f(x)=exp(x)*exp(-x), tu la dérives (tu peux le faire grace à 1) et 2) ), on constate que la dérivéée est nulle donc f est constante, grace à 3) on voit que f(0)=1. cqfd

Erik

[chimix]

merci pour ta réponse erik
J'avais fait le calcul de la dérivée et je trouvais bien qu'elle etait nulle mais je ne voyais pas en quoi cela pouvait m'aider.
pour confirmation : si j'ai bien compris , comme f'(x) = 1 (en posant f(x) = exp(x)*exp(-x) cela signifie donc que f '(0)=1 (tout comme on pourrait dire f '(1) = 1 ou f '(15)=1 car f'(x) est constant) donc f(0)=1. pourtant quelque chose m'échappe, comment pourrait t'on savoir que exp(x)*exp(-x)=0 rien qu'a partir des propriétés données?
merci d'éclairer ma lanterne.
C'est peut etre évident mais je reconnais que ca ne l'est pa pour moi.

[erik]

Oh la,

J'ai l'impression que tu mélange deux ou trois trucs, ou alors tu as tappé ton message trop rapidemment.

On a f'(x)=0 (et non pas f'(x)=1 comme tu l'a écrit) donc la fonction f est constante.

on a donc f(x)=exp(x)*exp(-x)=cst (cst un réel que l'on ne connait pas pour l'instant)

Déterminons cette constante, on sait que exp(0)=1, donc f(0)=exp(0)*exp(-0)=1*1=1.
Donc f(x) est constante, f(0)=1 donc f(x)=1.

C'est OK ?

[R is R]

J'ai trouver la réponse sur un autre forum, pour le meme sujet:

pour la première avec f(x)=exp(x)
On pose h(x)=f(x)f(-x)
h(x) est définie et dérivable sur R, d'où:
h'(x)=f'(x)f(-x)-f(x)f'(-x)
=f(x)f(-x)-f(x)f(-x)
=0
Donc h(x) est constante.
De plus,
h(0)=f(0)f(0)=1*1=1
Donc h(x)=1f(x)f(-x)=1
CQFD

Pour la deuxième:
Soit réel x et tout réel a fixé,
On pose h(x)=exp(x+a)exp(-x)
h(x) est définie et dérivable sur R, d'où:
h'(x)=exp(x+a)*exp(-x)+exp(x+a)*(-1)exp(-x)
=exp(x+a)*exp(-x)-exp(x+a)*exp(-x)
=0
Donc h(x) est constante.
De plus,
h(0)=exp(a) exp(x+a)exp(-x)= exp(a)
D'où:exp(x+a)=exp(x)exp(a).
CQFD

[erik]

C'est pas bien de donner les solutions "toutes cuites", le seul interet c'est de faire réfléchir un minimum.
Sert à rien (à pas grand chose) de donner un poisson à un mec qui a faim, vaut mieux lui apprendre à pécher.

Erik

[chimix]

oui c'est tout a fait clair à présent (je m'étais un peu embrouillé )
merci encore
je regarde pour la seconde démonstration a present!

[R is R]

Envoyé par erik

C'est pas bien de donner les solutions "toutes cuites", le seul interet c'est de faire réfléchir un minimum.
Sert à rien (à pas grand chose) de donner un poisson à un mec qui a faim, vaut mieux lui apprendre à pécher.

Erik

Il avait compris le bt du problème, comprennait le raisonnement de toi-meme mais ne comprenais pas l'obtention du résultat donc je l'ais aidé en donnant une autre facon de voir la démonstration

[chimix]

Pour la deuxième:
Soit réel x et tout réel a fixé,
On pose h(x)=exp(x+a)exp(-x)
h(x) est définie et dérivable sur R, d'où:
h'(x)=exp(x+a)*exp(-x)+exp(x+a)*(-1)exp(-x)
=exp(x+a)*exp(-x)-exp(x+a)*exp(-x)
=0
Donc h(x) est constante.
De plus,
h(0)=exp(a) exp(x+a)exp(-x)= exp(a)
D'où:exp(x+a)=exp(x)exp(a).
CQFD

Mais de toute facon dans mon cas est ce que cela est applicable sachant que je n'ai pas de réel x? est ce que je dois determiner arbitrairement "posons h(a)=... ou h(b)=..." ou alors est ce que je n'ai pas le droit de procéder comme cela?
C'est vrai que cela m'aide bien mais de toute facon je vérifie toujours ce que l'on medit! je ne recopie pas sans comprendre.

[erik]

La demo donnée par R is R est valable pour tout x réel.
Et à la fin on obtient exp(x+a)=exp(x)exp(a), si c'est valable pour tout x c'est valable pour x=b.
donc on a bien exp(b+a)=exp(b)exp(a) comme demandé.

Erik

[chimix]

d'accord c'est bien ce qui me semblit
encore et toujours un grand merci

[Quinto]

Ce problème ressemble beaucoup à un problème que j'ai créé il y'a quelques années et disponible sur le net, malheureusement il était bourré de petites erreurs...

En tout cas, la démo est vrai meme si on change R par C tout le long du problème.
Ca reste intéressant quand même

[chimix]

1)exp est une fonction dérivable sur R
2) sa fonction dérivée , notée exp', est telle que, pour tout réel x : exp'(x) = exp(x)
3)exp(0) = 1

En utilisant que ces 3 propriétés de la fonction exp, démontrer que:
-Pour tout réel a et pour tout réel b, exp(a+b) = exp(a) * exp(b)

Ce raisonnement est il valable et si oui pourriez vous me l'expliquer:
Soit réel x et tout réel a fixé,
On pose h(x)=exp(x+a)exp(-x)
h(x) est définie et dérivable sur R, d'où:
h'(x)=exp(x+a)*exp(-x)+exp(x+a)*(-1)exp(-x)
=exp(x+a)*exp(-x)-exp(x+a)*exp(-x)
=0
Donc h(x) est constante.
De plus,
h(0)=exp(a) exp(x+a)exp(-x)= exp(a)
D'où:exp(x+a)=exp(x)exp(a).
CQFD

je souhaiterais savoir pourquoi utilise t'on la fonction exp(x+a)exp(-x)
au début (càd pourquoi cette foncion plutot que exp(x)*exp(a) par exemple) et comment explique t'on les 2 dernières lignes de calcul (avant le CQFD) ?

merci d'avance pour vos réponses

[Quinto]

Salut chimix, peux tu me dire ou tu as trouvé ce probleme stp?

[chimix]

l'enoncé a été donné par mon professeur de mathématiques (pour un dm) mais la démonstration a été donnée par R is R (citée quelques posts avant dans ce meme sujet) et c'est ceci que j'ai du mal a comprendre...
j'espere avoir répondu a ta question Quinto