Tétraedre

[trokmoitok]

Bonjour je seche sur cet petit exercice

Soit un tétraèdre ABCD
M un point du segment [AB]
N un point du segment [AC]
et P milieu du segment [AD]


Je dois démontrer les droites MN et BC sont sécantes
les droites MP et BD sont sécantes
les droites MP et CD sont sécantes


On note I J et K ces points d'intersection comment demontrez qu'ils sont aligné

[R is R]

Citation:

Posté par trokmoitok

Bonjour je seche sur cet petit exercice

Soit un tétraèdre ABCD
M un point du segment [AB]
N un point du segment [AC]
et P milieu du segment [AD]


Je dois démontrer les droites MN et BC sont sécantes
les droites MP et BD sont sécantes
les droites MP et CD sont sécantes


On note I J et K ces points d'intersection comment demontrez qu'ils sont aligné

MN et BC sécantes:
M, point du segment [AB] donc M apartient au plan ABC
N, point du segment [AC] donc N appartient au plan ABC
On suppose que MN et BC ne sont pas parallèle.
BC appartient au plan ABC
Donc les droits MN et BC sont sécantes

Pour MP et BD tu fais de la meme manière mais dans le plan ABD
Pour NP (et non MP) et CD, meme principe mais dans le plan ADC

IJK alignés
Je pense qu'il faut partir sur le fait que I, intersection de MN et de BC donc I apartient au plan BDC. J intersection de MP et BD donc J appartient au plan BDC. K, intersection de NP et CD donc K appartient au plan BDC
De plus, les 3 points sont sur BDC et sur l'un des 3 autres plan. Or l'intersection des plans est une droit de BDC donc les 3 points I J K appartiennent a cette droite, donc I J K sont alignés

Faudrait juste argumenter un peu plus la 3eme partie

[shokin]

les droites MN et BC sont sécantes :

M, N, B et C appartiennent tous au triangle ABC, comme pour le deuxième

les droites MP et BD sont sécantes :

car M, P, B et D sont coplanaires, ils appartiennent tous au triangle ABD, et (MP) et (BD) ne sont pas parallèles !

Tu peux également dire que P est élément de (MP) et de (BD).

les droites NP (non MP, sinon gauches) et CD sont sécantes suivant le même principe une troisième fois.

Tout cela est valable pour une pyramide à base triangle (et pas forcément un tétraèdre).

Tout cela n'est pas valable si deux points parmi M, N et P sont situés à même hauteur (le plan comprenant BCD étant l'altitude 0).

Les intersections respectives I, J et K sont alignées :

heu... je vais y réfléchir...

Shokin

[Jeanpaul]

Les points I, J et K appartiennent tous les 3 aux plans MNP et BCD.
L'intersection de 2 plans étant une droite, ces points I, J et K sont forcément sur cette droite.

[shokin]

Ach ! tu m'as doublé ! je viens d'y penser ya 2 minutes !

Shokin