a C b mod c <=> (a-b)/c=d avec d entier.
a est congruent à b modulo c si et seulement si la différence entre a et b est un multiple de c.
Par exemple modulo 4, il existe 4 classes :
la classe 0 : 0, 4, 8, 12, ...
la classe 1 : 1, 5, 9, 13, ...
la classe 2 : 2, 6, 10, 14, ...
la classe 3 : 3, 7, 11, 15, ...
par exemple 1 C 9 mod 4 car 9-1=8 et 8 est multiple de 4.
L'indice :
Soit x un multiple de 4.
x est dans la classe 0 modulo 4.
x+1 est dans la classe 1 modulo 4.
x+2 est dans la classe 2 modulo 4.
x+3 est dans la classe 3 modulo 4.
J'élève alors ces 4 nombres au carré.
x^2, qui est multiple de 4 car x est multiple de 4, donc dans la classe 0, congruent à x.
(x+1)^2=x^2+2x+1 C 1 C x+1 mod 4, donc dans la classe 1.
(x+2)^2=x^2+4x+4 C 4 C x+4 C x mod 4, donc dans la classe 0.
(x+3)^2=x^2+6x+9 C 9 C 1 C x+1, donc dans la classe 1.
Donc les carrés d'entiers se situent tous soit dans la classe 0, soit dans la classe 1 (selon pair ou impair).
Soit p un nombre premier (nombre entier positif à exactement deux diviseurs entiers positifs).
Hypothèse : il existe un x tel que p soit multiple de x^2+1.
p est multiple de 1 et de p uniquement !
Donc x^2+1 est égal soit à 1 soit à p.
Si x^2+1=1, x^2=0. Ce qui n'est pas possible car seul 0 est multiple de 0, or 0 n'est pas un nombre premier, donc 0 ne peut pas être égal à p.
Donc x^2+1=p.
Nous avons vu que x^2 est soit dans la classe 1 soit dans la classe 0.
Si x^2 est dans la classe 1 (x impair), x^2+1 est dans la classe 2, p également. Mais alors comme parmi les nombres premiers seul 2 est dans la classe 2, x^2+1=2 et x=1 (ou x=-1). Ce qui contredit ce que nous cherchons à démontrer.
Si x^2 est dans la classe 0, x^2+1 est dans la classe 1, p également ! ce qui démontre ce que nous cherchons à démontrer.
Pourtant tout nombre premier est multiple de 1, donc est multiple de x^2+1 avec x=0. Et tout nombre premier n'est pas forcément dans la classe 1.
Vous me dites tout de suite si je suis à côté de la plaque...
Shokin
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