Cos(x),Sin(x),Tg(x) en fonction de tg(x/2)

Bleyblue · 12/02/2005, 22h30

Bonjour,

J'aimerais bien pouvoir démontrer que :

si $t = Tg(\frac{x}{2})$

$sin(x) = \frac{2t}{1 +t^2}$

$cos(x) = \frac{1-t^2}{1+t^2}$

$Tg(x) = \frac{2t}{1-t^2}$

Pour ce qui est de tg(x) j'y arrive en partant des formules de l'angle double et posant A = x/2 si :

$Tg(2A) = \frac{2Tg(A)}{1 - Tg^2(A))$

Mais je n'y parvient pas pour Cos(s) et sin(x). Pouvez vous m'aidez ?

Merci

Leonpolou · 12/02/2005, 22h38

Euh tan c' est pas égale a cos/sin ou sin/cos??

A partir de la tu remplace tout non?

Bleyblue · 12/02/2005, 22h43

Ben non parce que tout ce que je parvient à faire avec ça c'est :

$sin(x) = \frac{2(Tg(\frac{x}{2})cos(x)) }{1 - Tg^2(\frac{x}{2})}$

Merci

zoup1 · 12/02/2005, 22h56

Mais non, c'est pas cela qu'il dit Leonpolou..

Tu pars de l'expression en t ; $2t/(1+t^2)$ et tu remplaces t par sin/cos ...
et puis ensuite tu utilise $sin^2+cos^2=1$ et $2sinx/2cosx/2 = sinx$ et $cos^2x/2 - cos^2x/2 = cosx$
et tout va tout seul...

Leonpolou · 12/02/2005, 23h00

De toute facon en trigo je suis nul moi

zoup1 · 12/02/2005, 23h09

Ce que dis mon message, c'est que tu proposes effectivement la bonne façon de faire mais que Zazeglu a fais autre chose (je sais pas très bien quoi d'ailleurs). Pour info donc tg= sin/cos ca peut toujours servir...

Bleyblue · 13/02/2005, 00h45

Ok j'essaie

Merci

Bleyblue · 13/02/2005, 00h58

Ben tg(x/2) c'est $\frac{2t}{1-t^2}$ et non pas + t² donc je ne peux pas appliquer la formule fondamentale donc je cale

Exponentiel Hippy · 13/02/2005, 01h25

souviens toi de trois choses : 1/cos²(x)=1+tg²(x), sin(u)=2sin(u/2)cos(u/2) et cos(u)=cos²(u/2)-sin²(u/2). En bricolant avec cela, tu retrouveras les expressions en fonction de t que tu cherches.

olle · 13/02/2005, 01h26

$\frac{2t}{1+t^2} = \frac{2tg(x/2)}{1+tg^2(x/2)} = \frac{2sin(x/2)cos(x/2)}{cos^2(x/2)+sin^2(x/2)} = 2sin(x/2)cos(x/2) = sin(x)$

ici il aura suffit de multiplier le numérateur et le dénominateur par cos²(x/2) puis d'utiliser les relations générales : cos²(x)+sin²(x) = 1 et sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

clide · 13/02/2005, 02h23

les maths sont un jeu où on se trompe : tu commences par poser t=tg(x/2) et tu finis par tg(x/2)=2t/(1-t²), c'est fort. Mais ça me l'a fait aussi ,rassure-toi.
si t=tg(x/2) et s=sin(x/2) et c=cos(x/2) on a :
sinx=2sc , cosx=c²-s² et donc tgx=2sc/(c²-s²)=2t/(1-t²) en divisant par c² comme t'as trouvé.
2t/(1+t²)=2s/c / (1+s²/c²)=2sc / (c²+s²)=sinx . (La démo à l'envers est + simple).
de même (1-t²) / (1+t²) = (1-s²/c²) / (1+s²/c²)=(c²-s²) / (c²+s²)=cosx.
bien sûr, il ne faut pas quitter de l'oeil c² qui ne doit pas être nul. or qd c=0 t qui vaut s/c n'est pas défini ce qui règle le pb : on a bien tjrs c non nul.

Bleyblue · 14/02/2005, 12h18

Daccord, merci bcp à tous

!!
C'est que je doit utiliser ce changement de variable dans mes primitives mais ça m'ennuiait de ne pas savoir démontrer ...

moiI2001 · 17/06/2007, 22h17

c bine ttout ca

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