calcul d'une ellipse

Latoupie · 17/02/2005, 18h41

Salut,

je cherche à déterminer l' équation d'une ellipse à partir d'une série de points. Est-ce que quelqu'un aurait déjà fait quelquechose du genre?

Merci

**doryphore** · 17/02/2005, 18h45

Il faut se servir de l'équation générale d'une ellipse et déterminer les coefficients grace aux équations que tu obtients en remplacant les variables par les coordonnées des points...
En tout cas, ca devrait marcher...

zoup1 · 17/02/2005, 18h59

Citation:

Posté par Latoupie

Salut,

je cherche à déterminer l' équation d'une ellipse à partir d'une série de points. Est-ce que quelqu'un aurait déjà fait quelquechose du genre?

Merci

Tu parles de points qui sont éffectivement situés sur une ellipse ou tu cherches la meilleurs ellipse qui passe au plus près des points de mesure...

moijdikssékool · 18/02/2005, 02h40

à priori, puisqu'il faut 3 points non alignés pour avoir un cercle, il te faudrait au moins 4 points pour avoir une ellipse. mais en fait un contre-exemple à 4 points est très facile à trouver (suffit d'aligner 3 points)
Donc, pour tracer une ellipse, et en la faisant passer par 3 points, il te faut aussi connaître la petite ou grande excentricité (je dis ou parceque l'autre excentricité sera déterminable par construction)

on trouve un cercle passant par 3 points en le considérant comme circonscrit au triangle formé par les points (centre = intersection des médiatrices)

une fois que tu as ton cercle, tu lui tapes dessus pour le déformer et obtenir l'ellipse que tu veux

Mais si tu n'as pas dès le départ une des 2 excentricités, tu n'auras pas une équation d'ellipse mais une famille d'ellipses

pour la trouver, mystère!

mais une idée serait de partir du centre du cercle cité plus haut et de trouver "l'horizontale" sur laquelle se trouve les 2 centres des ellipses et dont le milieu est le centre du cercle. Tout le boulot consisterait en fait à chercher l'équation de cette droite. Peut-être même que le vecteur directeur de cette droite n'est pas fixe...

Jeanpaul · 18/02/2005, 09h20

A mon avis, c'est un problème très difficile si les points ne sont pas rigoureusement sur une ellipse, pour 2 raisons :
1- l'ellipse est décrite par 5 paramètres (par exemple, coordonnées du centre,inclinaison du grand axe, grand axe et petit axe ou bien position des 2 foyers et somme des distances aux foyers)
2- il faut pouvoir définir une fonction erreur à savoir quantifier l'erreur commise : pour une ellipse trouvée, quelle erreur commet-on ? Cela peut se faire en calculant la distance de chaque point à l'ellipse mais comment ?

Tu peux essayer une méthode de tâtonnements, éventuellement par le simplexe (qui n'est pas aussi simple que ça). Par exemple, essayer au hasard des positions de foyers F1 et F2 et calculer pour chaque point Mi la somme des distances F1Mi + F2Mi. Tu fais la moyenne des distances et tu calcules l'écart-type.
Le meilleur choix de F1 et F2 est celui qui minimise l'écart-type. Ce qui revient à dire que l'écart-type des sommes des distances est la fonction erreur. C'est un choix arbitraire.

zoup1 · 18/02/2005, 10h14

Voilà un article qui propose une méthode pour ajuster des points sur une conique...

http://www.bmva.ac.uk/bmvc/2004/papers/paper_083.pdf

Cela vient de la discussion sur le fit d'une parabole....

moijdikssékool · 18/02/2005, 11h45

Citation:

Posté par Zoup1

http://www.bmva.ac.uk/bmvc/2004/papers/paper_083.pdf

si l'ellipse doit passer au plus proche d'une série de X points, ce lien répond à ta question (bonne chance)

si elle doit passer exactement par les points:

Citation:

Posté par JeanPaul

A mon avis, c'est un problème très difficile si les points ne sont pas rigoureusement sur une ellipse, pour 2 raisons :

non
il faut minimum trois points pour avoir une famille d'ellipse:

prend 2 points, trace une ellipse qui passe par ces 2 points et fait la grossir ou rapetisser jusqu'à ce qu'elle atteigne le 3ème. Si t'y arrive pas trace l'ellipse en l'orientant différemment (le grand axe à la place du petit)

Je propose la solution suivante: soit A, B, C trois points
trace la médiane D a AB et considère cet axe comme le petit ou grand axe. Trace par exemple une ellipse passant par A et B et d'axe (petit ou grand) D. Si C n'est pas aligné avec A et B, tu peux trouver une ellipse d'axe D et passant par C

Une fois que tu as la direction des petits et grands axes,tu peux projeter A, B et C sur ces derniers pour avoir leurs coordonnées (elliptiques) aux coordoonées du centre près
Tu dois très certainement arriver à un système à X inconnes X équations

J'ai pris la médiane à AB. Mais j'aurais pu prendre une autre droite. Suivant l'orientation et la position de cette droite, il est possible que le système obtenue soit insoluble

En fait, à vue de nez, par 3 points non-alignés peut passer n'importe quelle ellipse (du moins pour n'importe quel rapport entre les 2 excentricités bien sûr)

Jeanpaul · 18/02/2005, 18h58

Faire passer une ellipse par 3 points : fastoche : il suffit de prendre un cercle !
Mais pour définir une ellipse unique, il faut 5 points.
On peut alors résoudre le système :
a x² + b xy + c y² + d x + e y + f = 0
qui ne contient en fait que 5 inconnues, l'un des facteurs pouvant être pris arbitrairement. C'est alors tout aussi simple.

Le problème n'est intéressant que s'il y a plus de 5 points et qu'il faut trouver un optimum.

clide · 19/02/2005, 01h23

s'il y a plus de 5 pts, c'est pas un pb mais au contraire ça rigole encore mieux : le résultat n'en sera que plus précis.
le système peut s'écrire en isolant les x² par exemple :
b' xy + c' y² + d' x + e' y + f' = x²
où b' = b / (-a) , ... on se retrouve avec un système rectangulaire :
X u = v
où X est la matrice ayant pour lignes [ xiyi yi² xi yi 1 ] avec chaque pt i
u le vecteur des 5 coef qu'on cherche :
[ b' ]
[ c' ]
[ d' ]
[ e' ]
[ f' ]
et v le second membre : [ xi² ]
résoudre Xu=v n'est pas possible, mais minimiser la norme ||Xu-v|| a une solution simple : on multiplie à gauche par X^T (la transposée de X) , et on résoud :

X^T X u = X^T v

système carré 5x5 que l'on résoud aussi facilement (ou difficilement) que le précédent puisque de même taille.
GAUSS va bien mais ici on a droit en plus à CHOLEVSKI puisque X^T X est définie positive

moijdikssékool · 19/02/2005, 12h22

Citation:

Posté par JeanPaul

Mais pour définir une ellipse unique, il faut 5 points.

une ellipse c'est $\frac{(x-x_{o})^2}{a^2}+\frac{(y-y_{o})^2}{b^2}=R^2$ ou, comme j'ai voulu l'expliquer géométriquement $(x-x_{o})^2+\frac{(y-y_{o})}{\frac{b}{a}^2}=(aR)^2= r^2$ , c'est à dire que l'on peut s'intéresser au tracé d'un ellipse via le rapport entre les excentricités
il y a donc $x_{o}$ , $y_{o}$ , r et le rapport $\frac{b}{a}$ à trouver. Ca fait donc 4 inconnues et il nous faut 4 équations, donc 4 points
Si on se fout non seulement des excentricités mais aussi du rapport entre elles, on n'a besoin que de 3 points

Jeanpaul · 19/02/2005, 13h47

Et si l'axe de l'ellipse est penché, tu fais comment ?

Réponse : on rajoute une inconnue et ça fait 5.

moijdikssékool · 19/02/2005, 21h39

je suis parti de la médiatrice de AB (et dans le repère de cette droite et sa perpendiculaire, on peut écrire l'ellipse comme je l'ai écrite), mais dans le cas de 3 points. On obtient une famille d'ellipses

Dans le cas de 4, ca marche pas, je ne vois pas comment tracer une ellipse sur les critères que j'ai raconté
D'autant que si le 4ème point est à l'intérieur du triangle formé par les 3 autres, le tracé d'une éllipse semble impossible. Une condition nécessaire doit être de pouvoir tracer par les points un polyêdre convexe

Toujours est-il que le lien donné par zoup1 répond à la question, que l'ellipse passe par ou approche au plus près les points

Jeanpaul · 21/02/2005, 16h00

C'est vrai que ça répond parfaitement au problème mais il manque le fun.