Corps totalement ordonné complet.

Vassia Pupkin · 19/02/2005, 15h32

On sait que tout corps commutatif K totalement ordonné et posédant la propriété de la borne supérieure est isomorphe à R, l'isomorphie respectant la relation d'ordre.

Que peut-on dire d'un corps (non nécessairement commutatif) K totalement ordonné et posédant la propriété de la borne supérieure ?

martini_bird · 19/02/2005, 15h35

Salut,

personnellement, je ne peux pas en dire grand chose, sinon qu'il est infini.

Vassia Pupkin · 19/02/2005, 16h17

Je crois qu'il faut que je précise ma question.

On note C1 la classe des corps commutatifs totalement ordonnés et possédant la propriété de la borne supérieure. On note C2 la classe des corps totalement ordonnés et possédant la propriété de la borne supérieure. (Les relations d'ordre sont compatibles avec les opérations).
Il est clair que C1 est inclus dans C2.
On note ~ la relation d'équivalence définie sur C2 par : A ~ B si il existe un isomorphisme de corps entre A et B respectant la relation d'ordre.

On sait que C1/~ a pour cardinal un. Quel est le cardinal de C2/~ ?

martini_bird · 19/02/2005, 16h22

Plus simplement, combien y a-t-il, à isomorphisme près, de corps gauches totalement ordonnés et possédant la PBS?!

Moi, je n'en sais fichtrement rien, le seul corps gauche que je connaisse étant celui des quaternions.

D'ailleurs, un tel corps existe-t-il? :confused:

Vassia Pupkin · 19/02/2005, 18h25

Tu doutes de l'existences des quaternions ?

Ca serait bien quand même d'avoir un exemple de deux corps gauches possédant les deux propriétés mais étant non-isomorphes.

:

martini_bird · 19/02/2005, 18h42

Citation:

Posté par Vassia Pupkin

Tu doutes de l'existences des quaternions ?

non, tu ne m'as pas compris: je parlais des corps gauche possédant la PBS.

Citation:

Posté par Vassia Pupkin

Ca serait bien quand même d'avoir un exemple de deux corps gauches possédant les deux propriétés mais étant non-isomorphes.

:

Tu aurais un exemple d'un corps gauche possédant la PBS?

Vassia Pupkin · 19/02/2005, 19h01

Non. mais je pense qu'on doit pouvoir en trouver un en prenant une autre multiplication sur R.

Gwyddon · 19/02/2005, 20h26

oui mais il faudrais qu'il respecte l'ordre de IR, et ç'a n'est pas gagné d'avance

moijdikssékool · 19/02/2005, 21h50

euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?

Vassia Pupkin · 20/02/2005, 10h13

La multiplication dans un corps n'est pas forcément commutative.

Ca serait trop facile ...

On m'a répondu sur le groupe fr.sci.maths que l'on a pas besoin de la commutativité pour montrer que K est isomorphe à R.

martini_bird · 21/02/2005, 15h17

Citation:

Posté par moijdikssékool

euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?

En français, un corps n'est pas forcément commutatif.

Par contre, je crois qu'en anglais, le terme division algebra est préféré à field pour déigner un corps quelconque.

martini_bird · 21/02/2005, 15h23

Citation:

Posté par Vassia Pupkin

La multiplication dans un corps n'est pas forcément commutative.

Ca serait trop facile ...

On m'a répondu sur le groupe fr.sci.maths que l'on a pas besoin de la commutativité pour montrer que K est isomorphe à R.

Un corps gauche totalement ordonné possédant la propriété de la borne supérieur n'existe donc pas.

Gwyddon · 22/02/2005, 10h10

Citation:

Posté par moijdikssékool

euh... un corps c'est forcément commutatif, non? la deuxième loi n'est pas commutative par définition sur un corps?

par exemple, $\mathbb{H}$ le corps des quaternions est un exemple de corps non commutatif infini (de toute façon, les corps non commutatifs sont nécessairement infinis d'après le théorème de Wedderburn) ; à ce propos, quelqu'un connaîtrait-il un exemple de corps non commutatif et non-isomorphe au corps des quaternions ?

@+
Julien

Add-on : le corps $\mathbb{H}$ est constitué des nombres $z= a + \mathcal{i} b + \mathcal{j} c + \mathcal{k} d$ avec a,b,c,d réels et $\mathcal{i}^2 = \mathcal{j}^2 = \mathcal{k}^2 = -1, \mathcal{i} \mathcal{j} = -\mathcal{j} \mathcal{i} = 1, \mathcal{j} \mathcal{k} = - \mathcal{k} \mathcal{j} = 1 , \mathcal{k} \mathcal{i} = - \mathcal{i} \mathcal{k} =1$

martini_bird · 22/02/2005, 10h25

Citation:

Posté par 09Jul85

à ce propos, quelqu'un connaîtrait-il un exemple de corps non commutatif et non-isomorphe au corps des quaternions ?

Les octonions ?

Mais on a perdu l'associativité

...

Ok,