Carré réel - Forum Mathématiques du collège et du lycée

Quinto · 24/02/2005, 16h46

Salut,
lorsque j'étais en terminal, je me suis demandé pourquoi l'on avait que le produit de 2 nombres réels du même signe était positif, et négatif sinon, et je n'ai jamais eu ma réponse explicite...

Je me suis rendu compte qu'on nous l'a jamais démontré, et hier sur un forum, j'ai lu qu'un prof demandait en seconde une telle démonstration.
A mon avis, ca n'a pas de sens car c'est trop compliqué à ce niveau là d'avoir une démonstration rigoureuse.

J'aimerai savoir comment vous démontreriez ceci.
Ma démonstration passe par la complétude de R.

Evil.Saien · 24/02/2005, 17h00

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

Evil.Saien · 24/02/2005, 17h04

Plus sérieusement, est-ce qu'il faut considérer "-" comme un opérateur ? Si on dit que c'est un opérateur défini comme suit:
$-(\cdot )$ = opposé de $(\cdot )$
Donc, maintenant il faut montrer que l'opérateur inverse de "-" est "-".
Ca se montre ca ou est-ce une définition ?

Antikhippe · 24/02/2005, 17h06

Citation:

Posté par Evil.Saien

j'imagine que c'est pas en faisant:
-1 * -1 = 1 ??

LOL ! Même un élève de collège pourrait dire ça, alors, ce n'est pas ce que doit attendre Quinto...

Mais tout simplement aussi : quand on multiplie par un nombre négatif, on "change" de sens donc quand on multiplie 2 nombres négatifs, on change 2 fois de sens ce qui revient au même donc un produit de 2 nombres négatifs est positif...

Je ne sais pas si c'est accepté comme démonstration...

**matthias** · 24/02/2005, 17h07

C'est toujours la même chose avec ce genre de problèmes.
D'où est-ce qu'on part ? On reconstruit IR et on montre la propriété en chemin ? Ou on part d'une des manières de définir IR ?

Quinto · 24/02/2005, 17h10

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

Evil.Saien · 24/02/2005, 17h25

Citation:

Posté par Quinto

Salut,
en fait je pars de l'existence de N, puis de Z, de Q, et je le complete pour arriver à R.

Sinon j'avais aussi montré ca par une méthode qu'expose Evil.Saien, c'est à dire que je prenais R comme anneau totalement ordonné.

Heu, si tu le dis... J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

Antikhippe · 24/02/2005, 17h27

Citation:

Posté par Evil.Saien

J'ai aucune idée de ce qu'est un anneau...

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

Evil.Saien · 24/02/2005, 17h30

Citation:

Posté par Antikhippe

Soit A un ensemble muni de deux lois de composition interne + et ×. On dit que (A,+,×) est un anneau si :

* (A,+) est un groupe commutatif.
* × est associative.
* × est distributive par rapport à l'addition.

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

Antikhippe · 24/02/2005, 17h31

Citation:

Posté par Evil.Saien

si j'ai bien compris c'est:
* a+b = b+a
* c*(d*e) = c*d*e
* a*(b+c) = a*b + a*c
?

Oui, tout ça, c'est vrai dans R donc R est un anneau.

**matthias** · 24/02/2005, 17h36

il faut aussi les propriétés de groupe quand même.

Gwyddon · 24/02/2005, 17h37

le mieux je pense c'est de dire que la construction de IR en fait un corps commutatif totalement ordonné (genre avec les sections commençantes ouvertes de Q par exemple) donc en particulier un anneau commutatif totalement ordonné, d'où la démonstration avec le fait que - (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

martini_bird · 24/02/2005, 18h00

Salut,

Citation:

Posté par 09Jul85

- (-a) = a (par définition de l'opposé d'un nombre)

tout est là: quelque soit la construction de R, à moment ou à un autre on obtient sa structure de groupe (abélien).

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.

Cordialement.

Gwyddon · 24/02/2005, 18h34

Citation:

Posté par martini_bird

[MODE=Je chipote] Ceci dit, dans un groupe, ça se démontre que -(-x)=x (ou (x^-1)^-1=x), la définition de l'opposé (ou inverse) étant sensiblement différente.

Cordialement.

Non non tu ne chipotes pas tu as raison, j'ai été un peu vite

La définition de l'opposé dans un groupe additif (G,+) étant à x fixé "l'élément b dans G tel que a+x = x+ a =0", b étant noté -x, on a :

a+x = x+a =0 donc l'opposé de a est x ; ainsi, l'on a -a = x, mais a = -x, donc -(-x) = x.

Merci d'avoir chipoté, car il s'agit d'être précis et je ne l'avais pas été.

25/02/2005, 05h32

Pour ce qui suit on va admettre que le produit de deux nombres positifs est positif.
Soient a et b deux réels positifs :

Alors 0 = a*0 = a(b-b) = ab+a(-b) <=> -ab = a(-b)

Le produit de 2 réels de signe contraire est donc négatif.

Pour le produit de deux négatifs le raisonnement est similaire :

0 = -a(b-b) = -ab + (-a)(-b) <=> ab = (-a)(-b) (donc positif car admis au début)

J'ai vu cette démonstration dans un cours de cinquième

chrisgir · 25/02/2005, 13h56

t'avais vu les équivalences en 5è???

On a du attendre la seconde pour qu'on nous en parle (ca fait loin déjà!)

Antikhippe · 25/02/2005, 14h04

S'il l'a vu dans un livre de cinquième, c'est qu'il a adapté la démonstration ou alors, c'est que c'est un livre des années 30 !

Sinon, qu'est-ce-qu'une application interne et une application externe ?

Père Occide · 25/02/2005, 15h01

Bonjour.
Je m'aprêtais à donner une démonstration semblable à celle de Bobby, mais il m'a devancé. Trouver une telle démonstration dans un livre de 5ème n'est pas surprenant. Il doit dater des années 70-80, époque où l'enseignement des maths était en plein délire moderniste, avec la théorie des ensembles en 6ème, les structures de groupe, d'anneau et de corps en 4ème, les espèces vectoriels en seconde et j'en passe.