Démontrer qu'un nombre est divisible par 6

[Bleyblue]

Bonjour,

J'essaye de démontrer que : est divisible par 6.
(n entier positif)

Si c'est le cas on :
a entier positif.



Mais 6 + 1 exposant un entier ne peut donner que : 1) Des multiples de 6 et 2)des multiples de 1 (ce qui fait toujours 1)

On a donc :



Mais d'une part je me demande si c'est permis de dire ça, ou alors je doit le démontrer aussi ? Et d'autre part rien ne dit que a = k je pense non ?

Merci

[g_h]

oula, ça ne me paraît pas très correct.

Il est préférable de dire que Xⁿ-1 = (X-1)(X^n-1+X^n-2+...+1)

Donc 7ⁿ-1 = (7-1)(....) = 6(...)
Donc 6 divise ton nombre

[planck]

personnellement, j'aurais fait un "bete" raisonnement par recurrence:

initialisation: , divisible par 6 (ou prendre )

recurrence:
on suppose à un rang n que divisible par 6: il existe k relatif tel que
donc
7^(n+1)-1-6=6*7*k
7^(n+1)-1=6*(7k+1)
donc la condition est vrai au rang n+1, et il ne reste plus qu'à conclure...

pour ce que tu as fait, je ne sais pas trop, ça doit etre juste, mais notre prof nous a toujours dis en arithmetique d'eviter les formes fractionnaires... donc voilà

[g_h]

Je voulais juste souligner le fait que la formule que j'utilise plus haut ne sort pas de nulle part, c'est une identité remarquable
voir http://membres.lycos.fr/villemingera...e/IdentAut.htm (dans "identités formelles")

[matthias]

La méthode de g_h est très bien. Le raisonnement par récurrence me paraît inutilement compliqué.
Sinon tu peux aussi montrer très facilement que les congruences modulo 2 et modulo 3 sont nulles.

[shokin]

Rien à dire de plus que g_h !

a^n - b^n = (a-n)(a^(n-1) + a^(n-2) + ... + a^(n-n))

et comme a, b et n sont entiers, la deuxième parenthèse aussi, donc a^n - b^n est bien multiple a-n.

Shokin

[Lord]

On peut faire plus vite:
7=1 modulo 6
donc 7^n=1 mod 6
donc 7^n-1=0 mod 6

[shokin]

C'est aussi rapide ! en effet !

Shokin

[g_h]

Oui, c'est encore mieux, comme quoi !

[Bleyblue]

Envoyé par g_h

oula, ça ne me paraît pas très correct.

Il est préférable de dire que Xn-1 = (X-1)(Xn-1+Xn-2+...+1)

Donc 7n-1 = (7-1)(....) = 6(...)
Donc 6 divise ton nombre

Ah oui, je n'ai pas pensé à ça ... merci

Je vais essayer la méthode de planck voir un peu aussi, ça a l'air intéressant

Eh bien merci à tous, vous êtes super

[matthias]

Sinon Zazeglu, en regardant ta méthode, elle n'est pas vraiment fausse, mais assez compliquée par rapport au problème et pas très bien expliquée. Si je comprends bien, ce que tu fais consiste à utiliser la formule du binôme sur (6 + 1)ⁿ où tous les termes sont multiples de 6 sauf le dernier qui vaut 1, d'où 7ⁿ - 1 multiple de 6.

[pierre.électro]

tu es en terminale spé maths ? ( c'est un exemple type du cours ) je me trompe ????

[Bleyblue]

Moi ?
Je l'étais, j'en suis sortis depuis presque un ans
Je suis étuidant en médecine mais comme je n'aime pas je compte aller en math l'année prochaine (dans quelques mois quoi ...) .

Donc je me suis acheté un livre d'analyse et je travail dessus, tout en revoyant mon cours de math de l'année passée, cet exemple vient de mon livre ...

Envoyé par matthias

en regardant ta méthode, elle n'est pas vraiment fausse, mais assez compliquée par rapport au problème et pas très bien expliquée.

Oui, je me disais bien que ça ne pouvait être totalement faux ...

merci !