Loi binomiale

adrislas · 03/04/2005, 20h24

Bonjour,

Je ne comprends pas comment on trouve que l'espérance mathématique E(X) dans une loi binomiale est égale à n*p

n étant le nombre de fois où l'expérience est répétée, p étant la probabilité de l'évènement dont la variable aléatoire est de valeur 1

merci

martini_bird · 03/04/2005, 20h49

Bonjour,

une méthode peu élégante mais efficace malgré tout: le calcul direct de $\sum_{k=0}^nC_n^kp^kq^{n-k}=np$ .

Beaucoup plus simplement, il suffit de se ramener par linéarité aux expériences de Bernoulli.

Cordialement.

C.B. · 03/04/2005, 21h11

Une loi binomiale peut se ramener à la somme de n variables de Bernouilli indépendante de paramètre p.
L'espérance de la somme égale la somme des espérance par indépendance, d'où le résultat.

adrislas · 03/04/2005, 23h08

Merci à vous. je suis pas certain que ce soit au programme, mais bon, je suis interessé quand même.

pallas · 04/04/2005, 15h54

également une formule pour la variance = npq où q=1-p
A+

**kinette** · 04/04/2005, 18h13

Bonjour,
Adrislas, tu es à quel niveau d'études?
L'explication de C.B. me semble claire:

Citation:

L'espérance de la somme égale la somme des espérance par indépendance, d'où le résultat.

Pour paraphraser son explication si ça n'est pas clair pour toi: une loi binomiale B(n) peut être ramenée à la somme de n variables de Bernoulli, c'est-à-dire la somme de n tirages dont le résultat peut être 0 ou 1, avec une probabilité p d'avoir 1 (et donc une probabilité p-1 d'avoir 0).
Donc pour chacune des n tirages, on aura une probabilité p d'avoir 1, ce qui veut dire que pour chaque tirage l'espérance mathématique est de p*1=p. Pour la somme des résultats des n tirages, on multiplie l'espérance de chaque tirage par n.
http://www.sciences.ch/htmlfr/arithm...istiques01.php

Pour donner un exemple concret: si on considère que le côté pile d'une pièce correspond à 1; le côté face à 0, chaque lancer de pièce suit une fonction de Bernouilli, avec p=0,5. L'espérance mathématique d'un lancer est 0,5 -on a soit 0 soit 1, avec une probabilité égale pour chacun, donc en moyenne on obtient 1/2.
Si tu cherche l'espérance mathématique de la somme pour 10 lancers, pour chaque lancer l'espérance mathématique étant de 0.5, la somme de 10 lancers aura une espérance de 5.

K.

moijdikssékool · 10/04/2005, 14h05

sur le site de MAthématiques.net, à http://www.les-mathematiques.net/e/p/f/node4.php3#epfc1

sachant que X est la loi binômiale B(N,p) = $\sum_{k=0}^{\infty}{C_{N}^{k}( 1-p)^{(N-k)}p^{k}\delta_k}$
on voit un calcul de transformée de Laplace
$L_{(\frac{X}{\sqrt{Np(1-p)}})}(z) = (1-p+p\frac{z}{\sqrt{Np(1-p)}})^N$

rappel: $L_{X}(z)$ = |E( $e^{zX}$ )) = $\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{E(X^ {n})z^{n}}{n!}}$

En gros comment obtient-on ${E}(X^n)$ lorsque X est une loi binômiale?

martini_bird · 10/04/2005, 18h29

Citation:

Posté par martini_bird

Bonjour,

une méthode peu élégante mais efficace malgré tout: le calcul direct de $\sum_{k=0}^nC_n^kp^kq^{n-k}=np$ .

Salut,

je viens de remarquer que j'ai oublié le "k" dans la formule:

$\sum_{k=0}^nC_n^kp^kq^{n-k}k=np$

Toutes mes excuses.

Citation:

Posté par moijdikssékool

En gros comment obtient-on ${E}(X^n)$ lorsque X est une loi binômiale?

Une méthode naïve et peu efficace serait le calcul de:
$E(X^r)=\sum_{k=0}^nC_n^kp^kq^{ n-k}k^r$

La méthode suggérée dans ton cas est de calculer:
$E(e^{zx})=\sum_{k=0}^nC_n^kp^k q^{n-k}e^{zk}=[1+p(e^z-1)]^n$ et d'écrire le développement limité pour trouver les moments.

Cordialement.