vecteur et scalaire

os2 · 04/05/2005, 16h04

salut

quel est la différence entre les deux?

merci

Sephi · 04/05/2005, 16h05

Un vecteur possède une direction, et pas un scalaire.

**matthias** · 04/05/2005, 16h19

Citation:

Posté par Sephi

Un vecteur possède une direction, et pas un scalaire.

mouais

Pour bien comprendre la différence, il faut étudier la structure algébrique d'un espace vectoriel E sur un corps K. Les éléments de E sont des vecteurs, les éléments de K des scalaires.

$\mathbb{R}^2$ peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 2 sur le corps $(\mathbb{R};+;\times)$
C'est les vecteurs dans le plan que l'on voit au collège. Les scalaires sont des réels.

On peut aussi considérer $\mathbb{R}$ peut être vu comme un espace vectoriel de dimension 1 sur le corps $(\mathbb{R};+;\times)$
Et là la nuance entre scalaire et vecteur devient plus subtile.

Gwyddon · 04/05/2005, 17h23

je sais que je vais compliquer le débat, mais tant pis.

Comme le rappel matthias, dans le cas du corps des réels en tant qu'espace vectoriel dont le corps de base est... lui-même, la différence entre scalaire et vecteur n'est plus aussi évidente.

On peut alors prendre le point de vue "base" (qui ne marche qu'en dimension finie) : un vecteur obéit aux lois de changement de base, mais ce n'est pas le cas pour le scalaire, qui lui reste invariant.

C'est une idée à retenir, notamment pour la physique lorsque on étudie la relativité restreinte, et où il faut bien voir que tout réel n'est pas forcément un scalaire

@+

julien

os2 · 04/05/2005, 17h37

niveau écriture mathématique, il y a t'il une différence?

Gwyddon · 04/05/2005, 17h41

on utilise souvent l'alphabet grec lorsque on utilise les scalaires, et l'alphabet latin pour les vecteurs. On rajoute parfois (mais pas trop souvent) une flèche au dessus des vecteurs pour bien insister (on le fait plutôt dans le cadre de la géométrie en 2D/3D, mais pas au-delà)

evariste_galois · 05/05/2005, 02h32

Quelques précisions pour t'aider à mieux comprendre:

Génèralement, on appelle vecteur un n-uplet, à coefficient dans un corps lK (si tu ne sais pas ce qu'est un corps, retient simplement que c'est une structure stable pour deux opérations). Donc un vecteur est de la forme (a1, a2, a3,...., an), où les ai sont des élèments d'un corps. D'ailleurs, on n'est pas obligé de considérer un corps, mais bon, ne compliquons pas les choses.

On appelle scalaire, justement, chacun des a1,..., an.

On peut mutliplier un vecteur par un scalaire, par exemple:
A*(a1, a2, a3)=(A*a1,A*a2,A*a3), on multplie le vecteur composante par composante par le scalaire A. Remarque qu'on à pas parler de mutliplication d'un vecteur par un autre (c'est hors de propos en ce qui nous concerne).
On additionne, en outre, des vecteurs, composantes par composantes.

Un exemple simple:
On considère le plan (lR²), auquel on adjoint un répère orthonormé, où chaque point est caractérisé de manière unique par un couple (a,b) que l'on appelle communément vecteur (de lR²).
On mutliplie ce vecteur par le scalaire 2, on a alors le vecteur (2*a,2*b), i.e on vient de caractériser une homothétie.
La distinction entre vecteur et scalaire est ici on ne peut plus évidente.

Une dernière chose, un produit entre deux vecteur bien connu est le produit scalaire, ainsi nommé car l'image de deux vecteurs par ce produit est un scalaire.