f(x) = x! (factorielle et fonction gamma)

Bleyblue · 13/05/2005, 21h01

Bonjour,

Dites je me demande : Est ce que cela a un sens de définir la fonction f(x) = x! ?
A mon avis oui, et je pense qu'elle pourrait être intéressante à étudier mais l'ennui c'est que cette fonction n'est définie que si x est un entier naturel donc c'est embêtant (non dérivable, non intégrable ) ...

Se pourrait il qu'il existe un moyen de définir x! pour tout réel ?
Si oui alors ce serait formidable, on pourrait de même définire :

f(x) = $C^{a}_{x}$
Et voir un peu comment elle se comporte, etc ...

Je dis des bêtises

?

Merci

Sephi · 13/05/2005, 21h08

Mmm tu pourrais peut-être utiliser les fonctions plancher et plafond :

f(x) = [x] !

où les [ ] sont le plancher ou le plafond. L'avantage éventuel est que ta fonction devient intégrable (et dérivable par morceaux), mais bon ...

Ha oui, et elle est du coup définie sur tout lR, mais bon ...

**matthias** · 13/05/2005, 21h26

Salut.
Tu peux aller voir ici:
http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html
Ca généralise même aux complexes.
Bonne lecture et bon courage.

Bleyblue · 13/05/2005, 21h27

Ah oui mais celle là je la connais.
Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ...

EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci

merci

Bleyblue · 13/05/2005, 21h29

Ah attend, je n'ai pas bien lu ton message Sephi, j'avais lu [x] et non pas [x] !

Oui, ça ça serait bien

Je vais essayer de voir, merci bien

!

Quinto · 13/05/2005, 21h32

L'ennui c'est que l'on a plus f(x+1)=(x+1)f(x) tandis qu'avec gamma on l'a encore... et surtout on a la dérivabilité.

Bleyblue · 13/05/2005, 21h53

C'est vrai que ça restera une fonction en escalier malgré le "!"...
Mince, je ne sais pas comment faire pour représenter de telles fonctions avec ma TI 84 ...

Je peux poser quelques petites questions à ce propos ici ? Ou alors je dois changer de forum ?

merci

Bawah · 14/05/2005, 17h26

Bonjour à tous,

On peut prolonger la fonction factorielle à R+: C'est la fonction Gamma:

Gamma(x) = intégrale de 0 à l'infini de t^(x-)exp(-t)

On a gamma (x+1) = x.gamma(x), et gamma (n+1) = n! si n est un entier positif.

Bleyblue · 14/05/2005, 19h08

Oui. Malheureusement pour l'étudiée ça nécessite la connaissances des séries et des suites apparament, je ne connais pas ça encore mais ça va venir ...

Il va faloir que j'apprenne, ça devient urgent ...

merci

Quinto · 14/05/2005, 19h12

Bein ici c'est surtout l'étude des intégrales paramétrées qui compte

Bleyblue · 15/05/2005, 09h54

Ahhh, on paramètre des intégrales maintenant

?
Décidément, une mise à niveau en analyse s'impose, une fois que j'en aurais finis avec les probas. ...

merci

Quinto · 15/05/2005, 12h01

On appelle une intégrale paramétrée une intégrale de la forme:

Intégrale sur R de f(x,t)dx.

Comme on le voit, cette intégrale est une fonction qui dépend de t, x étant une "variable muette, qui travaille sous le signe somme".

Gamma en est un bon exemple.
Certains opérateurs, tels celui de Laplace en est un également:
L(f)=F(s)=intégrale de f(x)exp(-sx)dx sur R+.
Sauf qu'ici c'est plus compliqué, la vrai variable ici est f.

Bleyblue · 16/05/2005, 15h24

Je ne sais pas ce que c'est qu'un opérateur ...

Sinon oui en fait, c'est un peu comme avec les dérivées partielles, on ne considère que l'une des variables ...

merci

Sephi · 16/05/2005, 15h29

Un opérateur (sur un espace vectriel) est une application de l'espace vectoriel vers lui-même.

martini_bird · 16/05/2005, 15h47

Salut,

une définition peut-être plus abordable d'un opérateur: c'est un objet qui, à une fonction, associe une autre fonction.

Exemples simples: les opérateurs f -> f² ou f -> |f| définis sur l'espace des fonctions numériques continues sur R.

Exemples moins simples: les transformation de Laplace, Fourier et d'une manière générale les opérateurs nucléaires.

Cordialement.

Bleyblue · 16/05/2005, 15h49

Je ne sais pas non plus ce que c'est qu'un espace vectoriel même si j'ai souvent entendut parler ...
C'est qu'en secondaire on ne voit pas ça et pas plus en médecine

EDIT : croisement avec martini_bird, je lis tout ça

Bleyblue · 16/05/2005, 15h55

Ok je comprend mieux.

Donc dans ton exemple :

Citation:

Envoyé par martini_bird

f -> f²

Les fonction sont f et f², mais quel est l' "objet" ? Ou alors j'ai mal compris ta définition, et l'opérateur c'est simplement la transformation qui envoie f sur f² ... ?

merci

martini_bird · 16/05/2005, 16h11

Citation:

Envoyé par Bleyblue

l'opérateur c'est simplement la transformation qui envoie f sur f² ... ?

C'est ça.

13/05/2005, 21h01	#1
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	f(x) = x! (factorielle et fonction gamma) Bonjour, Dites je me demande : Est ce que cela a un sens de définir la fonction f(x) = x! ? A mon avis oui, et je pense qu'elle pourrait être intéressante à étudier mais l'ennui c'est que cette fonction n'est définie que si x est un entier naturel donc c'est embêtant (non dérivable, non intégrable ) ... Se pourrait il qu'il existe un moyen de définir x! pour tout réel ? Si oui alors ce serait formidable, on pourrait de même définire : f(x) = $C^{a}_{x}$ Et voir un peu comment elle se comporte, etc ... Je dis des bêtises ? Merci

13/05/2005, 21h08	#2
Sephi Date d'inscription: novembre 2004 Localisation: Bruxelles Âge: 24 Messages: 1 320	Re : f(x) = x! Mmm tu pourrais peut-être utiliser les fonctions plancher et plafond : f(x) = [x] ! où les [ ] sont le plancher ou le plafond. L'avantage éventuel est que ta fonction devient intégrable (et dérivable par morceaux), mais bon ... Ha oui, et elle est du coup définie sur tout lR, mais bon ...

13/05/2005, 21h26	#3
matthias Date d'inscription: février 2005 Localisation: IdF Messages: 4 440	Re : f(x) = x! Salut. Tu peux aller voir ici: http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html Ca généralise même aux complexes. Bonne lecture et bon courage.

13/05/2005, 21h27	#4
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Ah oui mais celle là je la connais. Ce qui m'attire chez x! c'est qu'elle croît très vite, plus vite que l'exponentielle encore ... EDIT: Croisement avec matthias, ok je vais voir, merci merci

13/05/2005, 21h29	#5
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Ah attend, je n'ai pas bien lu ton message Sephi, j'avais lu [x] et non pas [x] ! Oui, ça ça serait bien Je vais essayer de voir, merci bien !

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13/05/2005, 21h32	#6
Quinto Date d'inscription: septembre 2003 Localisation: Québec Âge: 24 Messages: 1 752	Re : f(x) = x! L'ennui c'est que l'on a plus f(x+1)=(x+1)f(x) tandis qu'avec gamma on l'a encore... et surtout on a la dérivabilité.

13/05/2005, 21h53	#7
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! C'est vrai que ça restera une fonction en escalier malgré le "!"... Mince, je ne sais pas comment faire pour représenter de telles fonctions avec ma TI 84 ... Je peux poser quelques petites questions à ce propos ici ? Ou alors je dois changer de forum ? merci

14/05/2005, 17h26	#8
Bawah Date d'inscription: février 2005 Localisation: 14ème arrondissement Âge: 25 Messages: 54	Re : f(x) = x! Bonjour à tous, On peut prolonger la fonction factorielle à R+: C'est la fonction Gamma: Gamma(x) = intégrale de 0 à l'infini de t^(x-)exp(-t) On a gamma (x+1) = x.gamma(x), et gamma (n+1) = n! si n est un entier positif.

14/05/2005, 19h08	#9
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Oui. Malheureusement pour l'étudiée ça nécessite la connaissances des séries et des suites apparament, je ne connais pas ça encore mais ça va venir ... Il va faloir que j'apprenne, ça devient urgent ... merci

14/05/2005, 19h12	#10
Quinto Date d'inscription: septembre 2003 Localisation: Québec Âge: 24 Messages: 1 752	Re : f(x) = x! Bein ici c'est surtout l'étude des intégrales paramétrées qui compte

15/05/2005, 09h54	#11
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Ahhh, on paramètre des intégrales maintenant ? Décidément, une mise à niveau en analyse s'impose, une fois que j'en aurais finis avec les probas. ... merci

15/05/2005, 12h01	#12
Quinto Date d'inscription: septembre 2003 Localisation: Québec Âge: 24 Messages: 1 752	Re : f(x) = x! On appelle une intégrale paramétrée une intégrale de la forme: Intégrale sur R de f(x,t)dx. Comme on le voit, cette intégrale est une fonction qui dépend de t, x étant une "variable muette, qui travaille sous le signe somme". Gamma en est un bon exemple. Certains opérateurs, tels celui de Laplace en est un également: L(f)=F(s)=intégrale de f(x)exp(-sx)dx sur R+. Sauf qu'ici c'est plus compliqué, la vrai variable ici est f.

16/05/2005, 15h24	#13
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Je ne sais pas ce que c'est qu'un opérateur ... Sinon oui en fait, c'est un peu comme avec les dérivées partielles, on ne considère que l'une des variables ... merci

16/05/2005, 15h29	#14
Sephi Date d'inscription: novembre 2004 Localisation: Bruxelles Âge: 24 Messages: 1 320	Re : f(x) = x! Un opérateur (sur un espace vectriel) est une application de l'espace vectoriel vers lui-même.

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16/05/2005, 15h47	#15
martini_bird Date d'inscription: octobre 2004 Localisation: Ligne 13 Âge: 27 Messages: 6 600	Re : f(x) = x! Salut, une définition peut-être plus abordable d'un opérateur: c'est un objet qui, à une fonction, associe une autre fonction. Exemples simples: les opérateurs f -> f² ou f -> \|f\| définis sur l'espace des fonctions numériques continues sur R. Exemples moins simples: les transformation de Laplace, Fourier et d'une manière générale les opérateurs nucléaires. Cordialement.

16/05/2005, 15h49	#16
Bleyblue Date d'inscription: juillet 2004 Localisation: Bruxelles (Belgique) Âge: 22 Messages: 2 747	Re : f(x) = x! Je ne sais pas non plus ce que c'est qu'un espace vectoriel même si j'ai souvent entendut parler ... C'est qu'en secondaire on ne voit pas ça et pas plus en médecine EDIT : croisement avec martini_bird, je lis tout ça

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