série de taylor

[os2]

salut

j'ai

dx/dt = 1/(t-e^x), x(0)=1

je doit déterminer le polynôme de taylor de degré 3 de la solution x(t)

j'ai trouvé

(x³(t²+4t+1))/(6(t-1)^4) + (x²(t+1)) / (2(t-1)^3 + x/(t-1)^2 + 1(t-1)

est-ce bon?

merci

[Jeanpaul]

C'est un polynôme, ça ?

[martini_bird]

Salut,

la réponse est de la forme x(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+ o(t³).

L'horreur que tu as trouvée est fausse (et n'a pas de sens, avec des x qui traînent n'importe où).

Essaie de reprendre le calcul...

Cordialement.

[matthias]

Pour compléter la réponse de martini_bird, il suffit de calculer les valeurs en 0 des dérivées successives de x.

[Quinto]

Je pense que c'est parce que tu n'as pas compris que ce que tu notes x c'est x(t) et que le développement de taylor que tu cherches c'est celui de x au voisinage de 0.
Tu ne peux donc pas avoir du x qui intervient puisque c'est ta fonction, et que tu la cherches.
Ou alors c'est moi qui n'ai pas compris
A+

[Quinto]

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))=1/exp(x(0))=1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

[os2]

Citation:

Posté par martini_bird

Salut,

la réponse est de la forme x(t)=a₀+a₁t+a₂t²+a₃t³+ o(t³).

L'horreur que tu as trouvée est fausse (et n'a pas de sens, avec des x qui traînent n'importe où).

Essaie de reprendre le calcul...

Cordialement.

pourtant j'ai pris un soft mathématique, j'ai mis: 1/(t-e^x) dans la fonction taylor et ça ma donner ce résultat là... à la main ça m'avais aussi donné ce résultat là

[matthias]

Citation:

Posté par os2

pourtant j'ai pris un soft mathématique, j'ai mis: 1/(t-e^x) dans la fonction taylor et ça ma donner ce résultat là... à la main ça m'avais aussi donné ce résultat là

Tu as calculé le développement de Taylor de x -> 1/(t-e^x) en considérant t comme une constante ?
Ce que tu veux c'est le développement de t -> x(t)
Tu ne peux donc pas obtenir de x, mais un polynôme en t.

[os2]

Citation:

Posté par Quinto

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))=1/exp(x(0))=1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

un peu de difficulté à comprendre comment ça fonctionne

pour

x''(t)=1/(t-e^x'(t))

=1/(0-e^1/e) = e^-e^-1

[matthias]

Citation:

Posté par os2

x''(t)=1/(t-e^x'(t))

non.
x'(t) = 1 / (t-e^x(t)) donc x''(t) = -(1-x'(t).e^x(t)) / (t-e^x(t))²
il suffit de dériver par rapport à t.

[Gwyddon]

Citation:

Posté par Quinto

Tu sais que tu as
x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

Notamment tu sais que x'(t)=1/(t-exp(x(t))
Si je cherche x'(0) ca me fait donc
x'(0)=1/(0-exp(x(0))= - 1/exp(x(0))= -1/e car x(0)=1
Sauf erreur.
Je te laisse trouver x" et x^(3)

Juste une petite question de méthode : au lieu de s'amuser à dériver successivement, n'est ce pas plus simple de faire des DLs, et exploiter l'unicité d'un DL pour obtenir des relations entre les divers coeff ? Ayant a0 = -1/e , on en déduit le reste.

Julien

[matthias]

Citation:

Posté par 09Jul85

Juste une petite question de méthode : au lieu de s'amuser à dériver successivement, n'est ce pas plus simple de faire des DLs, et exploiter l'unicité d'un DL pour obtenir des relations entre les divers coeff ? Ayant a0 = -1/e , on en déduit le reste.

Calculer x'(0), x''(0) et x'''(0) est quasiment immédiat. Je ne suis pas certain que ça vaille le coup de faire un DL.

[os2]

Citation:

Posté par matthias

non.
x'(t) = 1 / (t-e^x(t)) donc x''(t) = -(1-x'(t).e^x(t)) / (t-e^x(t))²
il suffit de dériver par rapport à t.

x(0)=1
x'(0)=1/e
x''(0)=e^(-1) -1


x'''(t)=[e^(x(t)) * ( e^(x(t)) -t) * x''(t) - e^(x(t)) * ( e^(x(t))+t)* ( x'(t) )² + 4 * e^(x(t)) * x'(t)-2] / (e^(x(t))-t)^3

[matthias]

Citation:

Posté par os2

x(0)=1
x'(0)=1/e
x''(0)=e^(-1) -1

Je trouve x'(0) = -1/e et x''(0) = -2/e²

Citation:

Posté par os2

x'''(t)=[e^(x(t)) * ( e^(x(t)) -t) * x''(t) - e^(x(t)) * ( e^(x(t))+t)* ( x'(t) )² + 4 * e^(x(t)) * x'(t)-2] / (e^(x(t))-t)^3

Je crois que c'est bon.

[Quinto]

C'est moi qui me suis trompé pour le x' dans mon post, et juju l'a notifié.
Malheureusement ca s'est repercuté partout.
A+

[os2]

une fois qu'on a les valeurs de x(0), x'(0)... il faut les mettres dans a0+a1t+a2t2+a3t3+ o(t3) ?

donc ça ferait

x(t)=x(0)+tx'(0)+t²x"(0)/2+t^3x^(3)(0)/6 + o(t^3)

1- 1/e*t -2/e² t² ....?

[Gwyddon]

Oui c'est ça, et n'oublies pas le o(t^3) à la fin

[os2]

pour x'''(0) j'ai trouver -9 / e^3

pour: o(t^3)

c'est tu 0 ou o? car je comprends pas ce que ça signifie