nombre rationnel/décimal

[beg]

Une question qui m'a été posée par un correcteur du CNED, suite à un devoir que j'avais revoyé pour la préparation de l'oral d'un concours

Condition necessaire et suffisante pour qu'un nombre rationnel soit un décimal?

Pouvez vous m'aider?

[evariste_galois]

Vu que l'ensemble D des nombres décimaux est inclu dans l'ensemble des nombres rationnels, on peut dire qu'un rationnel x est décimal ssi il existe k tel que x*10^k soit un entier relatif.

Autrement dit, un rationnel est décimal ssi il existe a entier relatif et b puissance de 10 tel x=a/b.

[planck]

je crois que notre prof nous avait posé la même question; la réponse était que le dénominateur soit soit un multiple de 2, soit un de 5...

mais je ne peux ni l'affirmer, ni le prouver.

en espérant avoir aider un minimum?

[matthias]

Citation:

Posté par planck

je crois que notre prof nous avait posé la même question; la réponse était que le dénominateur soit soit un multiple de 2, soit un de 5...

Disons plutôt que si on représente le rationnel par une fraction irréductible, la décomposition en facteurs premiers du dénominateur ne doit contenir que des 2 et des 5, ce qui est équivalent à ce qu'a dit evariste_galois.

[beg]

merci
c'est bien qquelque chose comme ça il ne me reste plus q'au essayer la démo

[GuYem]

Je rebondis un peu sur le sujet.
J'ai oublié comment on fait pour montrer que l'écriture décimale d'un rationnel est cyclique et surtout comment on fait pour trouver la longueur du cycle.
Quelqu'un pour me rafraichir la mémoire?

[beg]

si on écrit le rationnel sous la forme a/b, on a :
a=bq+r avec r<b, on a donc une periode max de b