Quelques questions pour comprendre l'axiome du choix ... et le paradoxe de B-T

**Romain-des-Bois** · 28/06/2005, 13h26

Salut à tous !

Alors comme je l'ai dit dans la partie TIPE, je n'ai pas tout compris à ce que j'ai pu lire sur l'axiome du choix et le paradoxe de Banach-Tarski.

Alors je fais ce topic pour poser mes questions au fur et à mesure

J'espère que vous m'aiderez à mieux comprendre.

J'ai trouvé des docs sur l'axiome du choix sur www.bibmath.net

je vois bien ce que c'est qu'un ensemble, mais qu'est-ce que c'est un ensemble ordonné ?
et comment une partie d'un ensemble peut-être ordonnée maximale ? qu'est-ce que ça signifie ?

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

Merci !

**doryphore** · 28/06/2005, 13h31

Un ensemble ordonnée est un ensemble muni d'un relation d'ordre entre ses éléments, cad d'une relation binaire (entre 2 éléments), antisymétrique (si x<=y et y<=x alors x=y), transitive (si x<=y et y<=z alors x<z et réflexive x<=x)

**doryphore** · 28/06/2005, 13h35

POur ta deuxième question, tu parles sans doute d'une relation d'inclusion sur un ensemble de parties d'un ensemble.
Dans ce cas dire qu'une partie est maximale pour la relation d'ordre c'est dire que si une partie contient la partie dite maximale aloes cette parti est l'ensemble tout entier.

Gwyddon · 28/06/2005, 13h36

Salut,

On va commencer par l'ordre. Un ensemble ordonné est un ensemble muni d'une relation... d'ordre ! (incroyable hein ?)

Bon jusque là, je ne t'apprend vraiment rien. En fait, une relation d'ordre R sur un ensemble E est une relation qui vérifie trois axiomes :

_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).

Comme relation d'ordre que tu connais déjà, il y a l'ordre classique sur IR. Tu peux aussi penser à l'ordre sur les parties de IR, défini avec l'inclusion (je te laisse vérifier que c'est bien un ordre).

Après, sur les ordres, il y en a de deux types : les ordre totaux, et les ordres partiel.

Un ordre est dit total si l'on peut toujours comparer deux éléments: ainsi si je prend au hasard x et y dans E, j'ai toujours soit xRy soit yRx. Typiquement, c'est le cas de l'ordre sur IR.

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

EDIT : gros carambolage avec doryphore

Baygon_Jaune · 28/06/2005, 13h43

J'ai été sur le site, et je suppose que tu fait référence à l'intitulé du théorème de maximalité de Hausdorff : « Dans toute la suite, (E,<=) désigne un ensemble ordonné. On rappelle qu'une partie A de E est totalement ordonnée maximale s'il est maximale, relativement à l'inclusion, dans l'ensemble des parties totalement ordonnées. ».

Déjà, un ensemble totalement ordonné est un ensemble tel que si tu prend deux éléments a et b, alors tu auras (a<=b) OU (b<=a). Ce n'est pas le cas de tous les ensembles ordonnés, par exemple IN* muni de la relation d'ordre "divisible par" est un ensemble ordonné (je te laisse vérifier qu'il satisfait bien à la définition rappelée par Doryphore) mais n'est pas totalement ordonné.

Ici, le terme « maximal » ne fait pas référence à l'ordre <= de E, mais au fait d'être maximal pour la relation d'inclusion dans l'ensemble des parties ordonnées de E (l'inclusion étant bien évidemment une relation d'ordre).

Carambolage en chaîne sur les ensembles totalement ordonnés

C.B. · 28/06/2005, 13h53

Citation:

Posté par Romain29

Salut à tous !

Alors comme je l'ai dit dans la partie TIPE, je n'ai pas tout compris à ce que j'ai pu lire sur l'axiome du choix et le paradoxe de Banach-Tarski.

Alors je fais ce topic pour poser mes questions au fur et à mesure

J'espère que vous m'aiderez à mieux comprendre.

J'ai trouvé des docs sur l'axiome du choix sur www.bibmath.net

Tu parles de cette page : http://www.bibmath.net/dico/index.ph...=./z/zorn.html ?

Citation:

Posté par Romain29

je vois bien ce que c'est qu'un ensemble, mais qu'est-ce que c'est un ensemble ordonné ?

Un ensemble ordonné est la donnée :
1/ D'un ensemble X
2/ D'une relation d'ordre R sur l'ensemble X

Un ensemble ordonné est souvent représenté par le couple : (X,R).

Tu peux trouver des informations sur les relations d'ordre et les ensembles ordonnés ici :
http://www.bibmath.net/dico/index.ph.../ordrerel.html
ou ici :
http://www.les-mathematiques.net/b/g/z/node3.php3#bgzb1

Citation:

Posté par Romain29

et comment une partie d'un ensemble peut-être ordonnée maximale ? qu'est-ce que ça signifie ?

Je suppose que tu parles de cela : " Tout ensemble ordonné possède une partie totalement ordonnée maximale (théorème de maximalité de Hausdorff)."

La formulation n'est pas forcément la plus adaptée pour quelqu'un n'ayant pas l'habitude des relations d'ordre.

Sur ce site,tu pourra trouver la démonstration de l'équivalence entre le théorème de maximalité de Hausdorff et le lemme de Zorn : http://boumbo.toonywood.org/xavier/maths/choix.html (mais l'auteur utilise beaucoup de termes techniques).

Que dit exactement ce théorème ?
On parle d'un ensemble ordonné X (ordonné par la relation R)
On considère le sous ensemble E de P(X) composé des parties de X qui sont totalement ordonnées par R (c'est à dire des parties Y de X telle que $\forall t \in Y, \forall u \in Y, uRt \text{ ou } tRu$ ).
E est ordonné par la relation d'inclusion $\subset$ .
Le théorème dit que E a un élément maximal pour la relation d'ordre $\subset$ .

ATTENTION : Il ne faut pas confondre "élément maximal" et "élément maximum".
Un élément maximal d'un ensemble X est un élément de X tel qu'il n'existe aucun autre élément de X qui soit plus grand que lui.
Un élément maximal de X est un élément qui est plus grand que tous les autres éléments.

Dans le cas d'un ensemble totalement ordonné, maximal et maximum signifient la même chose. Mais dansle cas d'un ensemble ordonné dont l'ordre n'est pas total il y a une différence.

Citation:

Posté par Romain29

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

On est là pour ça.

Citation:

Posté par Romain29

Merci !

De rien. N'hésite pas à poser d'autres question ou à redemander des précision si certaines explications te semblent peu claires.

Edit

ffouuu, 4 réponse le temps que je tape mon message....

Moma · 28/06/2005, 14h00

Citation:

Posté par Romain29

en espérant que je n'abuse pas de la cordialité des participants ...

Je ne crois pas non

. 4 réponses le temps de dire ouf. Joli score

Amicalement
Moma

PS : désolé pour le flood, j'ai pas pu m'empêcher

**Romain-des-Bois** · 28/06/2005, 17h28

et bien ! merci beaucoup !

J'avoue ne pas avoir vraiment tout saisi

est-ce normal ... ?

Je résume, vous me corrigerez...

donc un ensemble ordonné est un ensemble avec une relation d'ordre entre ses éléments (elle est notée R)
donc l'ensemble ordonné X par la relation R est noté (X;R)

_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).

Là, je vois à peu près ce que ça veut dire, mais ce n'est pas très très clair ...

Un ordre est dit total si l'on peut toujours comparer deux éléments: ainsi si je prend au hasard x et y dans E, j'ai toujours soit xRy soit yRx. Typiquement, c'est le cas de l'ordre sur IR.

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

Pour ça, c'est très clair, même si je ne vois pas pourquoi l'ordre sur l'ensemble des parties de IR est partiel ...

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Malgré vos explications je n'arrive pas à saisir le sens d'une partie maximale sur un ensemble...

Je suppose que c'est l'élément de E tel que cet élément soit plus grand que tous les autres (voir définition de C.B) mais je trouve que c'est très facile à avoir ça. Il faudrait une restriction sur la taille de l'élément.
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Dans ce cas dire qu'une partie est maximale pour la relation d'ordre c'est dire que si une partie contient la partie dite maximale aloes cette parti est l'ensemble tout entier.

Ca je comprends.
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est-ce que vous pourriez m'éclairer sur les relations d'ordre. Par exemple vous avez parlé d'inclusion et de "divisible par"... mais je ne vois pas comment on sort un ordre de ces relations...

en tous cas, merci à tous (pour les liens aussi), je commence à y voir un peu plus clair !

**Romain-des-Bois** · 28/06/2005, 17h40

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

Gwyddon · 28/06/2005, 17h44

Salut Romain,

Je vais essayer de t'expliquer pourquoi l'ordre sur les parties de IR est partiel.

En fait, de façon plus générale, l'ordre induit par l'inclusion sur l'ensemble des parties d'un ensemble est un ordre partiel.

Si je prend E={a,b,c,d,e,f,g}, je sais que P(E)= { vide,E,{a,b},{a,b,c},{d,e},etc ...}

Ainsi si je prend {a,b} et {a,b,c} j'ai bien {a,b} inclu dans {a,b,c}. J'ai donc {a,b}R{a,b,c} (ici R désigne l'inclusion).

Par contre, si je veux comparer {a,b} et {d,e}, je ne peux rien dire puisque je n'ai ni {a,b}R{c,d}, ni {c,d}R{a,b}.

"Divisible par" est aussi un ordre : en effet si tu prend un entier n, tu as toujours n divisible par n (la réflexivité est bien vérifiée). Si tu prend n et p tels que n divise p, et p divise n, alors p=n (ce sont des entiers naturels ici dont on parle...). Enfin, tu as bien n divise q si n divise p et p divise q.

De même que l'inclusion sur l'ensemble des parties d'un ensemble, la relation d'ordre "divise" n'est que partielle : si je prend par exemple 2 et 5, je n'ai ni 5 divise 2, ni 2 divise 5. On ne peut donc pas les comparer.

Gwyddon · 28/06/2005, 17h47

Citation:

Posté par Romain29

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

R désigne une relation générique. Dans les exemples, tu as par exemple $\subset$ , |, $\leq$ à la place du symbole R.

C.B. · 28/06/2005, 18h02

Citation:

Posté par Romain29

_ Pour tout x dans E, xRx (on dit que R est réflexive)

_ Pour tout x et y dans E, si xRy et yRx alors x=y (l'antisymétrie)

_ Pour tout x,y,z dans E si xRy et yRz alors xRz (la transitivité).

Là, je vois à peu près ce que ça veut dire, mais ce n'est pas très très clair ...

Intuitivement :

La réflexivité signifie que x est inférieur ou égal à x
L'antisymétrie signifie que si x est inférieur ou égal à y et que y est inférieur ou égal à x, alors x=y.
Autrement dit, si x et y sont différents, on ne peut pas avoir en même temps x inférieur ou égal à y et y inférieur ou égal à x.
La transitivité dit que si x est plus petit que y, et que y est plus petit que z, alors x est plus petit que z.

Citation:

Posté par Romain29

Si ce n'est pas le cas, l'ordre est partiel : c'est le cas par exemple sur l'ensemble des parties de IR.

Pour ça, c'est très clair, même si je ne vois pas pourquoi l'ordre sur l'ensemble des parties de IR est partiel ...

Regarde l'ensemble {0,1,2} et l'intervalle : [0;1]

Aucun de ces deux éléments n'est comparable dans P(IR) munit de la relation d'ordre "inclusion".

Citation:

Posté par Romain29

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Malgré vos explications je n'arrive pas à saisir le sens d'une partie maximale sur un ensemble...

Je suppose que c'est l'élément de E tel que cet élément soit plus grand que tous les autres (voir définition de C.B) mais je trouve que c'est très facile à avoir ça. Il faudrait une restriction sur la taille de l'élément.
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Non, ça c'est "maximum".
Il s'agit en fait d'un élément de E tel qu'aucun autre élément de E n'est plus grand que lui.
L'ordre sur E n'est pas total en général, maximum et maximal ne sont donc pas équivalent ici.

Citation:

Posté par Romain29

est-ce que vous pourriez m'éclairer sur les relations d'ordre. Par exemple vous avez parlé d'inclusion et de "divisible par"... mais je ne vois pas comment on sort un ordre de ces relations...

Soit un ensemble X, l'inclusion est un ordre sur P(X).

Qu'est ce que ça signifie ?
Cela veut dire que si on considère la relation R définie par :
$xRy \Leftrightarrow x \subset y$ , alors cette relation est une relation d'ordre sur P(X).

De la même façon, la relation de divisibilité : $xRy \Leftrightarrow \exists z, y=xz$ est une relation d'ordre sur IN, c'est à dire qu'elle vérifie les 3 axiomes des relations d'ordre (réflexivité, transitivité, antisymétrie).

Par exemple, pour la relation de divisibilité on a 3R6, 4R100
pour tout x 1Rx (1 est minimum)
pour tout x xR0 (0 est maximum)

Citation:

Posté par Romain29

C'est re-moi ...

en fait je ne comprends pas très bien la notation xRy ou xRx, même si j'imagine ce que ça veut dire...

re-merci !

Une relation R sur un ensemble X est une partie de X².
xRy signifie en fait que $(x,y) \in R$

Quand R est une relation d'ordre et qu'on ne parle que de cette relation d'ordre, on note parfois $\leq$ au lieu de R.

indian58 · 28/06/2005, 18h40

Salut à tous.
Romain29, sans être indiscret, tu es en quelle classe? Si tu rentres en prépa, tu verras en première en année la théorie des ensembles (i.e. les manipulations des ensembles, les axiomes qui régissent ces manipulations, dont l'axiome du choix, les relations d'ordre et d'équivalence,...) et tu comprendras beaucoup mieux. Le but de cette théorie est de construire ce sur quoi un mathématicien, par exemple de construire $\mathbb{R}$ .
Pour bien voir les relations d'ordre, pense à "<=" que tu connais, ou pense à l'inclusion des ensemble (A $\subset$ B si tout élément de A se trouve dans B).
Pour les relations d'équivalence, pense tout simplement à "=" ou la congruence modulo un entier (si tu fais spé maths en terminale).

Quant à l'axiome du choix, il y a plusieurs formes. L'énoncé le plus simple est le suivant: Si tu as plusieurs ensembles A1, A2,..., An non vides, alors tu peux créer un ensemble en prenant un élément de chaque ensemble A1,...,An. Par exemple, prenons A1={2,4,9,0}, A2={9,1,878,32} et A3={19}. Alors {2,1,19} est un ensemble.

Pour comprendre l'utilisation de l'axiome du choix dans paradoxe de Banach-Tarski, tu as juste besoin de connaître cet énoncé.

C.B. · 28/06/2005, 20h26

Citation:

Posté par indian58

Si tu rentres en prépa, tu verras en première en année la théorie des ensembles (i.e. les manipulations des ensembles, les axiomes qui régissent ces manipulations, dont l'axiome du choix, les relations d'ordre et d'équivalence,...) et tu comprendras beaucoup mieux.

Il me semble que la théorie des ensemble n'est pas au programme de prépa, et que l'axiome du choix n'y est pas abordé.
En tout cas, de mon temps (je me fait vieux

) on ne voyait pas l'axiome du choix, ni en MPSI, ni en MP.

Baygon_Jaune · 28/06/2005, 20h37

Je suis à peu près certain que l'axiome du choix n'est pas au programme, mais ça n'empêche pas d'en parler de temps à autres, par exemple pour évoquer l'existence (ou non) de bases dans les E.V.

Gwyddon · 28/06/2005, 20h37

Tout dépend du lycée. Ainsi les grands lycées parisiens et les grands lycées de province (Fermat, Kléber ou le Parc par exemple) ont tendance à débuter le cours de sup par la théorie des ensembles, afin de donner un cadre pour la suite de l'année (et par extension un cadre mathématique pour la suite de nos études je trouve).

Quinto · 28/06/2005, 21h11

Je doute que l'on fasse de la théorie des ensembles en sup et en spé, on a déjà beaucoup à faire avec le programme. Ca ne se fait pas au parc en tout cas.
En revanche, c'est le genre de trucs qui se font à la fac, notamment en cours de logique, avec les ensembles inductifs, les ordres et le lemme de Zorn.
Sinon ca se ferait plutôt à l'ENS ou en licence, ca demande quand même pas mal d'abstraction et de recul.
A+