Débutants en calcul tensoriel

[Witten]

Bonjour,

Je me suis acheter un livre sur le calcul tensoriel "Initiation progressive au calcul tensoriel" de Claude Jeanperrin.
J'ai lu le 1er chapitre et j'ai l'impression qu'il me manque quelques notions pour bien comprendre. Même si ces questions peuvent vous paraître stupide, je crois qu'elle sont importantes pour que je comprenne bien :

-Je ne vois pas la différence entre un espace et une base, et l'utilitée de distinguer les deux?
-Qu'est ce qu'est une base duale R³* à R³, et quelle est l'utilitée?
-Je ne comprend pas pourquoi les composants d'un vecteur de R³ subisent une loi de changement de base "inverse" au vecteur de base? Le terme contravariant et covariant me paraîssent logique par définition, je suppose que "contra" et "co" se rapporte au changement par rapport au vecteur de base.

Merci de m'éclaircir.

[Quinto]

Bonjour,
l'espace c'est ton ensemble, comme R ou R², la base c'est un sous ensemble de ton espace, à partir duquel tu peux créer tous les autres vecteurs.
Par exemple, si tu considères C comme R espace vectoriel, alors puisque tous les éléments de C s'écrivent a+ib, les éléments qui "engendrent" C sont 1 et i.
Une base de C comme R espace vectoriel est donc {1,i}.

Lorsque tu as un élément d'un espace E, le dual de E, noté E* c'est l'ensemble des formes linéaires sur E, c'est à dire l'ensemble des applications linéaires de E dans R (ou C si tu as un C espace vectoriel).
Lorsque tu as une base B={e1,e2,...,en}sur E, la base canonique sur E* c'est la base B* définie par e1*(e1)=1 e1*(e2)=e1*(e3)=e1*(e4)=...=0
et en fait ei*(ej)=1 si i=j et 0 sinon.
Si tu considères C comme R espace vectoriel toujours, alors une base on l'a vu, est {1,i}.
Notamment , quelle est la base duale de C comme R espace vectoriel?

[monnoliv]

Citation:

... la base c'est un sous ensemble de ton espace...

Y a pas une erreur là?

[matthias]

Citation:

Posté par monnoliv

Y a pas une erreur là?

Où tu vois une erreur ? Une base c'est un ensemble de vecteurs appartenant à l'espace ...

[Witten]

Ton explications est surement très bonne Quinto, mais je ne suis qu'en seconde (système français), et mon niveau ne me permet que de comprendre la moitié de ce que tu dit .
Mon livre n'explique pas assez c'est terme (ou est-ce moi qui comprend pas?). Il me faudrait des explications simples svp.
Surtout je ne comprend pas non plus exactement les termes "ensemble" et "sous-ensemble", je vois a peut pret ce que c'est.

[Romain-des-Bois]

R cube c'est l'espace ?
et R carré le plan, et R la droite des rééls ?
c'est ça ?

---
en fait, je m'apperçois que quand on pose des questions (niveau lycée) les réponses sont bien compliquées, et je pense que les intervenants qui répondent ne prennent pas assez en compte les acquis de celui qui pose la question.
J'ai eu du mal avec les explications qu'on m'a fournies sur les ensembles par exemple.

[Quinto]

Peut etre lis tu un ouvrage qui ne t'es pas adapté, les notions sont compliquées quand même, c'est de l'algèbre au niveau bac+2/bac+4 que tu lis.

Tu as un R-espace vectoriel E (un ensemble de vecteurs), pour faire simple on va prendre E=R².
Les éléments de R² sont les éléments (x,y) (vecteurs).
On peut écrire tout vecteur (x,y) de la manière (x,0)+(0,y)=x(1,0)+y(0,1)
On voit que (1,0) et (0,1) permettent de construire tous les éléments (x,y).
On voit qu'il y'en a pas en trop (par exemple si on ajoute (1,1) ca crée un vecteur en trop) et donc c'est un base (si on ajoute (1,1) on a pas une base).
Le nombre d'éléments de la base est ce que l'on appelle la dimension, ici c'est donc 2.

Le dual de E c'est l'ensemble des applications linéaires de E vers R.
Maintenant, si tu te donnes ta base B={(1,0),(0,1)}, on veut trouver sa base duale.
La base duale est B*={u,v} avec
u(1,0)=1 et u(0,1)=0
u(0,1)=1 et u(1,0)=0

Notamment on voit que
u:=(x,y)->x et vx,y)->y
sont des applications qui marchent.
Donc ce sont bien les éléments du dual de E.
Ici B*={u,v} avec u et v définies comme ci dessus.
En espérant que ce soit plus clair à présent.
A+

[Gwyddon]

En fait c'est surtout parce que comme le dit martini dans un autre fil, il faut prendre un peu patience et ne pas brûler d'étapes.

C'est bien de vouloir s'intéresser à des choses un peu plus élevées que son niveau habituel, mais par exemple quand je vois dans ce post que la personne est en 2nde, je me dis quelque part que son achat est (pour l'instant) totalement inutile puisque tout un tas de notions fondamentales lui manquent, et viendront plus tard dans sa scolarité.

Je vais quand même essayer de satisfaire sa curiosité.

EDIT : je me suis encore fait grillé par Quinto

[Gwyddon]

Pour compléter ce que dit Quinto :

une application linéaire de E dans IR est une application qui vérifie :

_ Pour tout vecteurs x et y dans E u(x+y) = u(x) + u(y)

_ Pour tout vecteur x et tout scalaire (ici un réel) :

[matthias]

Citation:

Posté par Romain29

en fait, je m'apperçois que quand on pose des questions (niveau lycée) les réponses sont bien compliquées, et je pense que les intervenants qui répondent ne prennent pas assez en compte les acquis de celui qui pose la question.

Je dirais que parfois les lycéens qui posent les questions ne se rendent pas compte que pour répondre clairement, il faudrait faire un cours de 30 pages. Mais bon, on leur en veut pas, s'ils posent la question c'est qu'ils ne savent pas

Pour Witten, tu devrais aller voir dans la biliothèque de maths. Rubrique algèbre linéaire tu trouves ça:
http://ufr-math-p12.univ-mlv.fr/mias/mias1/MIAS1.pdf
Tu auras probablement besoin de ces bases pour aborder les tenseurs, même si ça risque de te prendre du temps à comprendre et à assimiler.

[martini_bird]

Salut,

un post inutile simplement pour saluer l'effort de Witten (à 16 ans!).

Mais il est vrai qu'il faut du temps car les mathématiques sont très vastes et l'assimilation longue (bien plus longue qu'on l'imagine).

Bref, il est important de ne pas brûler d'étape: l'algèbre linéaire "simple" (calcul matriciel, etc.) est indispensable avant d'envisager le calcul tensoriel. Et il y a peut-être d'autres choses à voir avant (calcul différentiel, etc.).

Cordialement.

[Witten]

Merci Martinibird, les derniers 3-4 mois j'ai réussi d'apprendre le calcul différentiel, intégral,...
Maintenant j'aurais bien voulu me mettre au calcul tensoriel, mais je vais donc d'abord faire un detour par l'algèbre linéaire et le calcul matriciel.

Ton lien est très bien Matthias, je vais une fois essayer de le lire en entier (après avoir lu les 2 première page je pense que ça devrait allez).

J'ai assez bien compris les explications maintenant, mais c'est l'utilitée de définir tous cela qui m'échappe? Mais je verrai surement l'utilitée plus tard.

Pour 09Jul85, le livre ne m'a pas couter une fortune (~15€).

[Quinto]

L'utilité est qu'à partir de bac+3 bac+4, toutes les maths sont basées sur de l'algèbre linéaire ou multilinéaire ou presque.
Tout ce que tu définis se définis à l'aide de machin qui opèrent linéairement ou presque sur tes objets. Notamment puisque tu parles de calcules différentiel et intégrale, tu a du te rendre compte que l'intégrale de af+bg c'était égal à
a*intégrale de f + b*intégrale de g
donc "le passage à l'intégrale" est une application linéaire, de même pour la dérivée etc.
Donc il y'a beaucoup de choses que tu fais avec des espaces vectoriels ou avec des groupes, même si a priori ca ne te semble pas être falgrant.
L'avantage aussi, c'est que l'algèbre linéaire est relativement simple à appréhender, ca devrait d'ailleurs figurer au programme de lycée parce que c'est assez intuitif et surtout très utile...

[indian58]

Salut Witten, félicitations pour ton courage!!! Mais tu aurais du d'abord acheter un bouquin sur l'algèbre linéaire.

[matthias]

Citation:

Posté par Witten

Ton lien est très bien Matthias, je vais une fois essayer de le lire en entier (après avoir lu les 2 première page je pense que ça devrait allez).

C'est martini_bird et les autres contributeurs à la bibliothèque qu'il faut remercier. C'est le premier fil de la rubrique mathématique, tu devrais y jeter un coup d'oeil.

[Witten]

Bonjour,

J'ai trouvé mon bonheur ici, dans cette discussion j'ai aussi trouvé le lien vers ce document PDF.

C'est exactement ce que je cherchais, de plus dans ce document PDF on définit bien la base duale (du moins je crois avoir bien compris) par .

Maintenant c'est l'utilitée de cette base duale que je ne saisis pas encore.

[Quinto]

La définition je te l'avais donnée non?
L'utilité est que tu as une base de l'ensemble des applications linéaires de E vers R (ou C).
C'est à dire que toute application linéaire de E vers R ou vers C va s'écrire comme combinaison d'éléments du dual de E.
Après tu peux regarder le dual de E* et remarquer que E** se comporte comme E lui même...

[Witten]

Oups, en effet en rélisant ton message Quinto je remarque que ta définition est exactement la même, mais j'avais pas compris , bon en tous cas maintenant j'ai compris ce qu'est une base duale.