[Maths] [TS->L3] Formule d'inversion de Möbius

invite3bc71fae · 08/07/2005, 00h31

Ce problème a pour but d'obtenir la première formule d'inversion de Möbius dont vous pourrez trouver quelques applications dans cet exposé:
http://www.eleves.ens.fr/home/anton/maths/expose.pdf et des renseignements sur Möbius,ici: http://serge.mehl.free.fr/chrono/Mobius.html

La plupart des questions sont abordables par des étudiants de niveau Licence deuxième année.

1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise $C_p^k$ .

2. Soit $\mathbb {L}$ un corps commutatif tel que $\mathbb{F}_p$ (le corps $\frac {\mathbb{Z}}{p\mathbb{Z}}$ des classes résiduelles modulo p) soit un sous-corps de $\mathbb {L}$ .

(a) [L2-L3] Montrer que pour tout $\lambda \in \mathbb {L}$ on a $p \lambda=0$ .

(b) [L1-2] Soient n,r deux entiers naturels non nuls et $\lambda_1,...,\lambda_r$ des éléments de $\mathbb {L}$ . Montrer que:

$\left( \sum_{i=1}^r \lambda_i \right )^{p^n}= \sum_{i=1}^r \lambda_i^{p^n}$

(c) [L1-2] Soient n un entier naturel non nul et R un polynôme à coefficients dans $\mathbb{F}_p$ . Montrer que:

$\forall \lambda \in \mathbb{L}, R( \lambda^{p^n} ) = (R(\lambda))^{p^n}$

3. On dit qu'un élément $\lambda$ de $\mathbb{F}_p$ est un carré s'il existe $\mu$ dans $\mathbb{F}_p$ tel que $\lambda=\mu^2$

(a) [L2-L3] Déterminer le nombre de carrés dans $\mathbb{F}_p^*=\mathbb {F}\backslash\{0\}$ .

(b) [L1-L2] Montrer que, pour $p \geq 3,\lambda \in \mathbb{F}_p^*$ est un carré dans $\mathbb{F}_p^*$ si, et seulement si, $\lambda^{\frac{p-1}{2}}=1$ .

Suite demain

invite3bc71fae · 08/07/2005, 09h38

Petite précision d'importance avant de continuer... p est un nombre premier dans l'ensemble de l'énoncé

4. On note $\mathcal{F}$ l'ensemble de toutes les suites $\mathcal{u}\ :\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{R}$ . Cet ensemble est muni de l'addition usuelle des suites et du produit * défini par:

$\forall (\mathcal{u},\mathcal{v}) \in \mathcal{F}^2,\ \forall n \in \mathbb{N}^*, \ (\mathcal{u}*\mathcal{v})(n)= \sum_{d|n}\mathcal{u}(d) \mathcal{v}\left( \frac{n}{d} \right)$ , l'addition étant étendue aux diviseurs positifs de n.

[L1-2] Vérifier que l'ensemble $\mathcal{F}$ muni des lois + et * est un anneau commutatif unitaire. On notera $\mathcal{e}$ l'élément unité.

5. [L1-2] Caractériser les éléments inversibles de $\mathcal{F}$ .

6. Si $n=p_1^{m_1}...p_k^{m_k}$ est la décomposition en facteurs premiers de l'entier $n \in \mathbb{N}^*$ (les $p_j$ sont premiers entre eux deux à deux distincts et les $m_j$ entiers naturels non nuls), on définit la fonction $\mu$ de Möbius par $\mu (1)=1$ et pour $n=p_1^{m_1}...p_k^{m_k} \geq 2, \mu (n)=(-1)^k$ si tous les $m_j$ sont égaux à 1 (i. e. n est sans facteurs carrés ), $\mu (n)=0$ sinon.

(a) [L1-2] En notant $\varphi$ la suite constante égale à 1 (i.e. $\varphi (n)=1$ pour tout $n \in \mathbb{N}^*$ )., calculer $\mu * \varphi$

(b) [L1-2] Montrer que si $\mathcal{u,v}$ dans $\mathcal{F}$ sont telles que:
$\forall n \in \mathbb{N}^*, \ u(n)= \sum_{d|n} v(d)$
alors:
$\forall n \in \mathbb{N}^*, \ v(n)= \sum_{d|n} \mu(d) u \left( \frac{n}{d} \right)$ ,
c'est à dire que $v=\mu * u$ . Cette formule est la (première) formule d'inversion de Möbius.

invite3bc71fae · 19/10/2005, 20h55

Pour le premier, on a besoin d'un théorème d'arithmétique vu en Terminale S.

invite4b9cdbca · 19/10/2005, 20h59

Lol ça me fait une belle jambe, j'ai pas fait d'arithmétique en term... Mais je m'y essaie quand meme.

A voir en vidéo sur Futura · Aujourd'hui

invite2f886c49 · 23/10/2005, 23h12

Envoyé par doryphore

1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise $C_p^k$ .

Il faudrait peut etre préciser que p est premier ... non ?

invite3bc71fae · 23/10/2005, 23h30

Certes, je l'ai indiqué en rouge dans mon message #2, mais je ne pouvais plus modifier alors le message précédent.

invite2f886c49 · 24/10/2005, 00h20

C'est vrai, j'avoue ne pas avoir lu ton second post ...
Je retire ce que j'ai dit ...

invite3bc71fae · 20/06/2006, 16h24

Je propose une solution pour cette partie.
N'hésiter pas à formuler des critiques à l'égard de cette suggestion de correction qui ne prétend ni être la meilleure ni être exempte d'erreurs.

1. $C_p^k=\frac{p!}{k!(p-k)!}$

Soit $k \in \mathbb{[}1,p-1 \mathbb{]}$

p divise $k!C_p^k=p \frac{(p-1)!} {(p-k)!}$

or p et k! sont premiers entre eux puisque k<p et p premier. (p est premier avec tous les éléments de $\mathbb{[}1,k \mathbb{]}$ )

donc $p|C_p^k$ d'après le théorème de Gauss.

invite3bc71fae · 20/06/2006, 16h54

2.a. Soit $\phi : \array {\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{L}\\n \mapsto n.1}$

$\phi$ est un homomorphisme d'anneaux donc $Ker(\phi)$ est un idéal de $\mathbb{Z}$

On sait que p.1=0 car $\mathbb{F}p$ est un sous-corps de $\mathbb{L}$

On sait de plus que $\mathbb{F}p$ est premier, c'est donc le sous-corps premier de $\mathbb{L}$ .

Par conséquent $car(\mathbb{L})=p$
et $\forall \lambda \in \mathbb{L}, p.\lambda =0$

invite3bc71fae · 20/06/2006, 17h08

C'est $p\mathbb{Z}$ qui est un idéal premier pas $\mathbb{F}p$ bien sûr...

invite3bc71fae · 20/06/2006, 17h31

2.b. Démontrons cette égalité par réccurence sur n.

Initialisation.

Pour n=1, $(\sum_{i=1}^r \lambda_i)^p = \sum_{i=1}^r \lambda_i^p+S$ avec S une somme de multiples de $C_p^k$ pour $k \in \mathbb{[}1,p-1 \mathbb{]}$ donc une somme de multiples de p d'après la question (1) donc nulle d'après 2(a).

Pour n=1, on a bien $(\sum_{i=1}^r \lambda_i)^p = \sum_{i=1}^r \lambda_i^p$

Hérédité.

Supposons que ce soit vrai pour un entier n quelconque non nul, alors:

$(\sum_{i=1}^r \lambda_i)^{p^{n+1}} = (\sum_{i=1}^r \lambda_i)^{p^n \times p} = $(\sum_{i=1}^r \lambda_i)^p^n $^p = (\sum_{i=1}^r \lambda_i^{p^n})^p=\sum_{i=1}^r(\lambda_i^{p^n})^p=\sum_{i=1}^r \lambda_i^p^{n+1}$

Conclusion, l'égalité est vraie pour n'importe quel entier naturel non nul.

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