[Maths] [TS->L3] Formule d'inversion de Möbius

[doryphore]

Ce problème a pour but d'obtenir la première formule d'inversion de Möbius dont vous pourrez trouver quelques applications dans cet exposé:
http://www.eleves.ens.fr/home/anton/maths/expose.pdf et des renseignements sur Möbius,ici: http://serge.mehl.free.fr/chrono/Mobius.html

La plupart des questions sont abordables par des étudiants de niveau Licence deuxième année.

1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise .

2. Soit un corps commutatif tel que (le corps des classes résiduelles modulo p) soit un sous-corps de .

(a) [L2-L3] Montrer que pour tout on a .

(b) [L1-2] Soient n,r deux entiers naturels non nuls et des éléments de . Montrer que:



(c) [L1-2] Soient n un entier naturel non nul et R un polynôme à coefficients dans . Montrer que:



3. On dit qu'un élément de est un carré s'il existe dans tel que

(a) [L2-L3] Déterminer le nombre de carrés dans .

(b) [L1-L2] Montrer que, pour est un carré dans si, et seulement si, .

Suite demain
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[doryphore]

Petite précision d'importance avant de continuer... p est un nombre premier dans l'ensemble de l'énoncé

4. On note l'ensemble de toutes les suites . Cet ensemble est muni de l'addition usuelle des suites et du produit * défini par:

, l'addition étant étendue aux diviseurs positifs de n.

[L1-2] Vérifier que l'ensemble muni des lois + et * est un anneau commutatif unitaire. On notera l'élément unité.

5. [L1-2] Caractériser les éléments inversibles de .

6. Si est la décomposition en facteurs premiers de l'entier (les sont premiers entre eux deux à deux distincts et les entiers naturels non nuls), on définit la fonction de Möbius par et pour si tous les sont égaux à 1 (i. e. n est sans facteurs carrés ), sinon.

(a) [L1-2] En notant la suite constante égale à 1 (i.e. pour tout )., calculer

(b) [L1-2] Montrer que si dans sont telles que:

alors:
,
c'est à dire que . Cette formule est la (première) formule d'inversion de Möbius.

[doryphore]

Pour le premier, on a besoin d'un théorème d'arithmétique vu en Terminale S.

[invite4b9cdbca]

Lol ça me fait une belle jambe, j'ai pas fait d'arithmétique en term... Mais je m'y essaie quand meme.

[A voir en vidéo sur Futura]

[AriesSith]

1.[TS] Montrer que pour tout entier k compris entre 1 et p-1, p divise .

Il faudrait peut etre préciser que p est premier ... non ?

[doryphore]

Certes, je l'ai indiqué en rouge dans mon message #2, mais je ne pouvais plus modifier alors le message précédent.

[AriesSith]

C'est vrai, j'avoue ne pas avoir lu ton second post ...
Je retire ce que j'ai dit ...

[doryphore]

Je propose une solution pour cette partie.
N'hésiter pas à formuler des critiques à l'égard de cette suggestion de correction qui ne prétend ni être la meilleure ni être exempte d'erreurs.

1.

Soit

p divise

or p et k! sont premiers entre eux puisque k<p et p premier. (p est premier avec tous les éléments de )

donc d'après le théorème de Gauss.

[doryphore]

2.a. Soit

est un homomorphisme d'anneaux donc est un idéal de

On sait que p.1=0 car est un sous-corps de

On sait de plus que est premier, c'est donc le sous-corps premier de .

Par conséquent
et

[doryphore]

C'est qui est un idéal premier pas bien sûr...

[doryphore]

2.b. Démontrons cette égalité par réccurence sur n.

Initialisation.

Pour n=1, avec S une somme de multiples de pour donc une somme de multiples de p d'après la question (1) donc nulle d'après 2(a).

Pour n=1, on a bien

Hérédité.

Supposons que ce soit vrai pour un entier n quelconque non nul, alors:



Conclusion, l'égalité est vraie pour n'importe quel entier naturel non nul.