vecteur propre et vecteur propre

os2 · 09/07/2005, 04h50

salut

j'ai un problème à résoudre et je comprend pas trop ce que je dois faire

une membrane élastique dans le plan x1Ox2 délimité par le cercle d'équation

x²1+x²2=1

est étirée selon la transformation linéaire t: X-> Y=AX

X=[x1;x2]
Y=[y1;y2]

A=[4,3;3,4]

une direction principale de cette transformation est donnée par un vecteur X=[x1,x2]^T pur lequel la direction du vecteur Y=T(X) est de même sens ou de sens opposé, c'est à dire que le vecteur X est parallèle au vecteur Y

a) Formuler le problème de trouver les directions principales de la transformation T en termes d'un problème de vecteurs propres et valeurs propres

ce que j'ai fait pour le peu que je comprends...

4x+3y=Vy1
3x+4y=Vy2

4x1+(3-V)y1=0
3x2+(4-V)y2=0

là je sais quoi faire...

merci

BS · 09/07/2005, 08h12

Y=AX se réécrit (en coordonnées)
$\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$
Un vecteur propre est alors plutôt caractérisé par la propriété Y=vX ou bien AX=vX, ce qui mène au système :
$vx_{1}=4x_{1}+3x_{2}$
$vx_{2}=3x_{1}+4x_{2}$
et il faut trouver les valeurs de v qui autorisent une solution (x_1,x_2) non nulle.

Est-ce que ça va mieux maintenant ?

os2 · 09/07/2005, 19h07

Citation:

Posté par BS

Y=AX se réécrit (en coordonnées)
$\begin{pmatrix} y_{1} \\ y_{2} \end{pmatrix}=A \begin{pmatrix}x_{1} \\ x_{2} \end{pmatrix}$
Un vecteur propre est alors plutôt caractérisé par la propriété Y=vX ou bien AX=vX, ce qui mène au système :
$vx_{1}=4x_{1}+3x_{2}$
$vx_{2}=3x_{1}+4x_{2}$
et il faut trouver les valeurs de v qui autorisent une solution (x_1,x_2) non nulle.

Est-ce que ça va mieux maintenant ?

V= 1 et 7

ensuite on trouve

x1=-x2
x1=x2

sont les directions principales

si je veux donner l'angle que chat chaque direction par rapport à l'axe des y1

ça serait

cos x = x1/y1 et cos x=-x2/y1
?

quel interprétation qu'on peut donnée des valeurs propre?
par exemple je dois donner l'interprétation des valeurs propre de la matrice A par rapport à l'étirement de la membrane