Limite de la fonction partie entière ...

Bleyblue · 14/07/2005, 18h07

Bonjour,

Si [x] désigne la fonction par partie entière je dois déterminer :

$lim_{(x \to \infty)} \LARGE \frac{x}{[x]}$

A l'aide une calculatrice il est assez simple de trouver la réponse c'est à dire : 1

Mais je me demandais, est il possible de le démontrer rigoureusement ?

merci

esboy · 14/07/2005, 18h28

écris que [x]=x+f(x) avec f bornée
et cherche la limite de [x]/x, c'est plus simple à manipuler.

Quinto · 14/07/2005, 18h36

Tu as par définition
x<=[x]<x+1
Tu divises par x et tu trouves le résultat.

**matthias** · 14/07/2005, 21h35

Citation:

Posté par Quinto

Tu as par définition
x<=[x]<x+1

[x]<=x<[x]+1
c'est mieux

Bleyblue · 14/07/2005, 22h15

Ah mais oui et ensuite il n'y a plus qu'a appliquer le th. du coinçage/des gendarmes et c'est bon c'est démontrer.

J'aurais pu le trouver moi même en fait ...

merci !

Quinto · 14/07/2005, 22h35

Citation:

Posté par matthias

[x]<=x<[x]+1
c'est mieux

éhéh, précipitation de ma part, on aura rectifié.

Merci.
A+

evariste_galois · 15/07/2005, 11h51

Citation:

Posté par Bleyblue

le th. du coinçage

Tu la sors d'où cette appellation?

. Jamais entendu, à la place j'ai eu droit au théorème des sandwiches, remarque, c'est pas mieux!

Bleyblue · 16/07/2005, 00h59

On en avait discuté une fois avec Matthias je pense.
Dans mon livre d'analyse ils appelent ça "du sandwiches" et "du coinçage" mais je sais que l'appellation "des gendarmes" existe aussi.

Il y en a encore une autre qui n'est pas mal mais dont j'ai oublié le nom ...
Tu utilises laquelle toi ?

indian58 · 17/07/2005, 18h00

C'est aussi appelé théorème d'encadrement, je crois.

Quinto · 17/07/2005, 18h09

Bonjour,
non le théorème d'encadrement dis que si f g et h sont trois fonctions telles que
$g \leq f \leq h$
et telles que g, f et h tendent vers les limites respectives l1 l2 et l3 alors
$l1 \leq l2 \leq l3$

Le théorème des gendarmes dit que si g, f et h sont trois fonctions telles que
$g \leq f \leq h$
et
$lim g \limits_{x\rightarrow \infty} = lim h \limits_{x\rightarrow \infty}$
alors f possède une limite en l'infini et c'est la même que g et h.
C'est sensiblement différent.