racine carré et irrationnel ?

Sarameen · 17/08/2005, 06h25

Je me souviens de la démonstration que racine carré de 2 est un irrationnel.

Je me demande si par généralisation, les racines carrés de tout nombre premier est irrationnel ?

Et encore plus, si toute puissance 1/n ou n>1 d'un nombre premier est irrationnel ?

Merci de me renseigner

martini_bird · 17/08/2005, 08h55

Salut et bienvenue,

en effet et la démonstration est identique: si p^1/n=a/b avec a/b irréductible, alors bⁿp=aⁿ. On en déduit que p divise aⁿ et donc que p divise a. Mais alors aⁿ=pⁿa'ⁿ et p divise aussi bⁿ, ce qui contredit le fait que a/b soit irréductible.

Cordialement.

evariste_galois · 17/08/2005, 12h22

Salut,

Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.

g_h · 17/08/2005, 13h20

Citation:

Posté par evariste_galois

Salut,

Il me semble que si d n'est pas un carré parfait, i.e il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d, alors la racine carrée de d est irrationnelle. Meme principe de démonstration que celui utilisé par Martini.

Hein ?
Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or $\sqrt{9/4} = 3/2$ qui est un rationnel ... !

evariste_galois · 17/08/2005, 13h32

Citation:

Posté par g_h

Hein ?
Il n'existe pas de naturel b tel que b² = 9/4, or $\sqrt{9/4} = 3/2$ qui est un rationnel ... !

Relis bien mon message, j'ai dit "il n'existe pas un entier naturel b tel que b²=d", toi tu poses b=3/2, qui n'est pas un entier naturel

.

g_h · 17/08/2005, 13h36

haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu

evariste_galois · 17/08/2005, 13h39

Citation:

Posté par g_h

haha, décidément faudra que j'apprenne à lire...

EDIT : en fait non, ton énoncé est ambigu

J'aurais peut-être du précisé que d est un entier naturel, mais c'était sous-entendu vu je parlais de carré parfait.

Moma · 17/08/2005, 13h43

Salutations,

En effet, l'énoncé est un peu ambigu au niveau de la distinction rationnels/entiers. Enfin je trouve.

Je dirait plutôt et plus généralement :

Si a/b n'est pas une puissance n-ième (i.e. a et b le sont), alors sa racine n-ième est irrationnelle. Voila. La démonstration est essentiellement la même.

Amicalement
Moma

evariste_galois · 17/08/2005, 13h44

Petite généralisation, si d n'est pas quotient de carrés parfaits, alors sa racine carrée est irrationnelle.

EDIT : croisement avec Moma, qui a encore plus généralisé que moi

.

Sarameen · 17/08/2005, 17h29

En fait, ce qui m'a toujours fâché, c'est ce passage :

Citation:

Posté par martini_bird

... que p divise aⁿ et donc que p divise a.

Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

(25 divise 10² mais 25 ne divise pas 10)

evariste_galois · 17/08/2005, 18h09

Citation:

Posté par Sarameen

Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

(25 divise 10² mais 25 ne divise pas 10)

A titre indicatif, je donne la démonstration lorsque d n'est pas un carré parfait et n=2

Soit d un entier naturel qui n'est pas un carré parfait. Montrons que d^1/2 est irrationnel.

Raisonnons par l'absurde. En effet, supposons que d^1/2 soit rationnel. Il existe a et b entiers naturels premiers entre eux tels que d^1/2=a/b, c'est-à-dire b²d=a².

On considère alors la décomposition de d en élèments premiers. Vu que d n'est pas un carré parfait, il existe un nombre premier p et deux entiers c et q tels que d=c*p^(2q+1) avec p ne divisant pas c.
Vu que d divise a², p^(2q+1) divise a², donc p^(q+1) divise a, i.e il existe e tel que a=e*p^(q+1).

D'où, b²*c*p^(2q+1)=e²*p^(2q+2), i.e b²*c=p*e².
Donc, p divise b²*c mais ne divise pas c, donc p divise b², ou encore p divise b. Or, on a supposé a et b premiers entre eux, d'où la contradiction.

evariste_galois · 17/08/2005, 18h28

Citation:

Posté par Sarameen

Parce que ca, ca ne marche que si p est premier, mais je n'ai jamais réussis à l'écrire de facon rigoureuse.

(25 divise 10² mais 25 ne divise pas 10)

Soit p premier.
Supposons que p divise a^n et p ne divise pas a.

On a bien évidemment p et a premiers entre eux vu que p est premier et ne divise pas a.
Or, si p divise bc et p est premier avec c, alors p divise b.

On pose c=a, et b=a^(n-1), et alors p divise a*a^(n-1) mais p premier avec a donc p divise a^(n-1).

Par une petite récurrence, on arrive a p divise a, ce qui contredit les hypothèses de départ.

Donc si p divise a^n, p premier, alors p divise a.

MB_MathemateX · 21/08/2005, 23h17

Une preuve naturelle et assez simple est détaillée ici, pour ceux que ça intéresse.