Longueur d'une courbe représentative d'une fonction ...

[LocalStone]

Alors voilà, je me demandais dans le train comment on pouvait faire pour connaitre la longueur de la courbe représentative de n'importe quelle fonction entre et ? Du coup, j'ai essayé à coup d'intégrale et tout, mais vu que je savais pas trop comment on pouvait définir cette "longueur", mes calculs n'aboutissent pas tu tout ...
Donc si quelqu'un à la réponse, merci .

[LocalStone]

Alors voilà, je me demandais dans le train comment on pouvait faire pour connaitre la longueur de la courbe représentative de n'importe quelle fonction entre et .

[Jeremy]

En paramétrant ca marche pas mieux ? y=f(x) -> P(t) ={x=x(t) y=y(t)} D=integral(P(t)) entre t1 et t2 ?

[indian58]

c 'est simple: c'est l'intégrale entre x1 et x2 de Norme(dM/dt)

[evariste_galois]

J'espère ne pas me tromper en affirmant que la longueur de la courbe représentative d'une fonction continuement dérivable entre les points a et b s'interprète comme l'intégrale de a à b de (1+f'²)^1/2.
Plus de précisions un peu plus tard, promis .

[evariste_galois]

Un petit exemple, pour la forme:

Soit à calculer la longueur de la courbe représentative de la fonction x->cosh(x) sur l'intervalle [0;1] .

A toi de jouer LocalStone!

[eljeys]

On peut essayer de justifier "avec les mains" cette formule

Soit une courbe d'équation y=f(x)
On prend un tronçon infinitésimal de la courbe de longueur dl. En projection sur l'axe des absisses, on a dx et dy en projection sur l'axe des ordonnées.

On "peut" alors appliquer le théorème de pythagore

dl² =dx² +dy²

Or dy=(dy/dx)*dx=f'(x)dx

d'où dl² =dx² +(f'(x)dx)²

=>dl=racine(1+f'(x)²)dx

Ensuite on intègre entre x1 et x2 et on retrouve la bonne formule.

[LocalStone]

Merci de vos réponses, c'est cool . Mais comment on fait si la fonction pour calculer la longueur (le truc avec la racine) n'est pas intégrable avec les fonctions usuelles ? Y a pas moyen d'y arriver avec des approximation de la fonction de départ avec des polynomes ? ...
++ !
L.

[Kacsou]

Sinon, pour une fonction de la forme y=f(x), la longueur entre x1 et x2 est donnée par :

[martini_bird]

Bonjour,

j'ai fusionné les fils sur le même sujet.

Pour la modération.

[LocalStone]

Merci martini_bird ... J'ai bugué en créant le premier thread ...

[Samuel_222]

Salut !

Je ne commprends pas cependant. En prenant f(x)=1 entre 0 et 1, on devrait trouver une courbe de longueur 1...

Or :



De même, on devrait trouver 1 pour tout f(x)=constante... or la formule semble indifférente à cela !

Où est l'erreur ? Merci

[Médiat]

Envoyé par Samuel_222

Je ne commprends pas cependant. En prenant f(x)=1 entre 0 et 1, on devrait trouver une courbe de longueur 1...

Tu es sur de ta dérivée pour f(x) = 1 ?

[Samuel_222]

Ah ok, j'avais pas vu qu'on parlais de la dérivée !

Merci

[Ledescat]

Envoyé par Kacsou

Sinon, pour une fonction de la forme y=f(x), la longueur entre x1 et x2 est donnée par :

"Intuitivement", on somme toutes les normes infinitésimales des vecteurs vitesse à la courbe.
Tout ça pour dire qu'il n'est pas étonnant de voir une racine carrée (norme) et du f ' (vitesse).

Cordielement.

[FonKy-]

Envoyé par Ledescat

"Intuitivement", on somme toutes les normes infinitésimales des vecteurs vitesse à la courbe.
Tout ça pour dire qu'il n'est pas étonnant de voir une racine carrée (norme) et du f ' (vitesse).

Cordielement.

Qu'appelle tu norme infinitésimale ?

[Ledescat]

Envoyé par FonKy-

Qu'appelle tu norme infinitésimale ?

Si g st la fonction vectorielle associée à f, ie

Un petit bout de courbe a pour longueur

Et ensuite on somme toutes ces normes infinitésimales pour trouver la longueur.
Mais je conviens que c'est expliqué avec les mains .