tenseur metrique

bobbyfischer · 28/08/2005, 09h58

bonjour,

dans le cadre de la relativite restreinte, j'aimerais savoir en quoi le tenseur metrique (avec la convention + - - -) est invariant par la transformation de lorentz, et ce que ca veut dire parce que si on prend une matrice speciale du groupe de lorentz, du genre
g -bg 0 0
-bg g 0 0
0 0... 1 0
0 0... 0 1
(les ... sont la juste pour que la matrice soit jolie a voir)
où g=gamma et b=beta=u/c et u est la vitesse de R' par rapport a R

et qu'on fqit le produit matriciel ca ne donne evidemment pas le tenseur metrique...d'allieurs, la transofrmation de lorentz transforme des vecteurs et je vois pas comment elle pourrait transformer un tenseur, qui ici se visualise commeune matrice.

merci pour votre aide

Sephi · 28/08/2005, 10h23

La métrique ne se transforme pas comme un vecteur, mais comme "deux" vecteurs. Soit $\eta$ ton tenseur métrique (c'est une matrice, donc) et soit $\Lambda$ une transformation de Lorentz (une matrice aussi). Dire que la métrique $\eta$ est invariante par transformation de Lorentz signifie que :

$\displaystyle\large \eta = \Lambda^{t}\eta\Lambda$

ou, en passant à la notation avec les indices :

$\displaystyle\large \eta_{\alpha\beta} = \Lambda^\mu_\alpha \, \Lambda^\nu_\beta \,\eta_{\mu\nu}$

(le $\beta$ devrait être en indice, mais ça marche pas ...)

gillesh38 · 28/08/2005, 10h29

La matrice de Lorentz $\Lambda^{\alpha}_{\beta}$ ne sert pas qu'à transormer les 4-vecteurs, mais tous les tenseurs d'ordre n. Les formules font intervenir n multiplications matricielles : pour un tenseur covariant d'ordre 2 comme le tenseur métrique par exemple, on a

$g^'_{\mu\nu} = g_{\alpha\beta} \,\Lambda^{\alpha}_{\mu} \,\Lambda^{\beta}_{\nu}$ , ou matriciellement

$G'= ^t\Lambda G \Lambda$

Regarde, ça marche....

bobbyfischer · 28/08/2005, 10h30

ok merci, et sinon j'ai une autre question, que signifie la distinction sud ouest /nord est (dsl si c'est le contraire j'ai pas reflechi

) dans les indices ?

gillesh38 · 28/08/2005, 10h34

On est d'accord , j'ai aussi des problèmes de TeX moi lol; les indices sont justes la ligne et la colonne, c'est une multiplication matricielle. Le fait d'etre en haut ou en bas est lié au caractère covariant ou contravariant, ils se transforment différemment dans un changement quelconque de coordonnées (en RG)

Sephi · 28/08/2005, 10h42

Faut savoir que la convention d'Einstein est utilisée : lorsqu'un indice est répété une fois en haut et une fois en bas, ça signifie qu'on doit sommer la quantité sur ces indices ... euh ... exemple (en RR, où un indice prend les valeurs 0,1,2,3) :

$\Lambda^\mu\,_\nu w_\mu = \Lambda^0\,_\nu w_0 + \Lambda^1\,_\nu w_1 + \Lambda^2\,_\nu w_2 + \Lambda^3\,_\nu w_3$