[Ecriture mathématique] Inclu ou appartient?

Jean-Charles · 02/10/2005, 13h00

Salut!

Dans un exo, il ya marqué A appartient à P(E) (partie de l'ensemble E)

Or comme A est un ensemble et P(E) aussi, donc comme la question était "A-t-on: "si x appartient a A et A appartient à P(E), alors x appartient a E (écrit avec les "signe mathétique", c-a-d: si x€A et A€P(E), alors x€E)
j'ai mi NON, car A étant un ensemble, A€P(E) n'existe pas...

C'est bon ou pas?

Merci d'avance!

g_h · 02/10/2005, 13h27

Non, ce n'est pas bon !

P(E) est un ensemble dont les éléments sont des ensembles, justement.
Donc A est bien un élément de P(E).
Donc A € E

A savoir : le € est strictement synonyme de "est élément de"
Des que tu peux dire "est élément de", tu peux écrire €.

aze555666 · 02/10/2005, 13h31

en fait, la notation (je cois) et bonne, car P(E) est la partition de E, c'est un ensemble d'ensembles.
l'inclusion, c'est pour un ensemble dans un ensemble.
l'appartenance, pour un élément dans un ensemble.
ici, P(E) étant un ensemble d'ensembles, l'ensemble A peut être considéré comme un élement de P(E).
Donc il va falloir que tu résolve ton probleme... sans passer par un résonnement (qui peut certe être tantant), du type, "la question ne veut rien dire, donc je répond non".
si on voulais voir si tu sais faire la différence entre C et €, on te poserait la question directement!

Jean-Charles · 02/10/2005, 13h39

Lol, c'était pas pour facilité que j'ai répondu sa! (NB: il est trop tard c'était en DS)

En cours le prof nous a fait une intro surprise, une demo par récurence, avec énoncé 'Montrer que: ...' or ce qui était a montrer ne marchais pas, il manquais un facteur 2 et tous le monde a passé outre (en modifiant l'énoncé...) résultat, 0...

Donc je me suis dit, la c'est en DS, et vu que la question était plutot facile quand meme, y'a p-e un pige... or a trop chercher, il semblerai que je soit tombé dans un pige qui n'existait même pas

Enfin bon, tanpis...

Car dans ma tête, inclu c'est (c'était devrai-je dire!) pour un ensemble dans un autre et appartient pour un élément dans un ensemble... et il me semblait que P(E)était un ensemble, mais je n'avait pas pensé A étant une partie de E, c'était bien un élément de P(E)

Et le pire, c'est que je vient de vérifier sur mes TD le prof a a chaque fois écrit "soit A,B € P(E)" donc je pense que je vais avoir faux...

Merci (quand même

)

Sephi · 02/10/2005, 13h39

P(E) n'est pas "la partition" de E (si c'était le cas, de quelle partition s'agit-il ?).

P(E), c'est l'ensemble de toutes les parties de E.

indian58 · 02/10/2005, 18h17

[quote=Jean-Charles]
Car dans ma tête, inclu c'est (c'était devrai-je dire!) pour un ensemble dans un autre et appartient pour un élément dans un ensemble... et il me semblait que P(E)était un ensemble, mais je n'avait pas pensé A étant une partie de E, c'était bien un élément de P(E)
QUOTE]

effectivement, "inclu" c'est bien un ensemble A dans un autre ensemble B dans le sens où A est la collections d'éléments de B
et x "appartient" à E désigne bien le fait qu' on puisse trouver x dans E. Et P(E) est bien un ensemble. Tu avais raison.

A propos d'ensembles d'ensembles, existe-t-il un ensemble qui contient tous les ensembles?

Jean-Charles · 02/10/2005, 18h50

Indian58 me dis que j'ai "raison" alors que d'autre me dise que non... je trouve que cette histoire d'écriture est plutot sujet à controverse... car l'écriture me semble fausse (comme je l'ai expliquéplus haut)

d'un coté si on prend le signe "€" comme "est un élément de" alors la, A€P(E)
mais d'un autre coté, "C" (inclu) est utilisé pour les ensemble, or A et P(E) sont tous les 2 des ensembles...

Tout le problème vient du fait que P(E) est à la fois un ensemble et un "package d'ensemble" au meme titre qu'un ensemble (A par ex.) est un "package d'éléments" (ce qui justifierai en qq sorte €) mais aussi un ensemble (car on pourrait très bien dire x€P(E) non?) ce que jsutifierai l'inclusion...

Enfin bon...

Un ensemble qui contiendrai pour les ensembles... bin j'ai pas encore un niveau d'étude très poussé, ce qui me laisserai pensé que C (ensemble des complexes) engloberai tous les autres... mais je pense qu'il doit bien y avoir des éléments qui ne lui appartienne pas (mais je ne sais pas lesquelles... donc demande a qq'un de plus qualifié!)

g_h · 02/10/2005, 19h09

Citation:

Posté par Jean-Charles

d'un coté si on prend le signe "€" comme "est un élément de" alors la, A€P(E)
mais d'un autre coté, "C" (inclu) est utilisé pour les ensemble, or A et P(E) sont tous les 2 des ensembles...

Tu te poses un faux problème. L'inclusion est utilisée entre 2 ensembles quand l'un est inclu dans l'autre. Ici ce n'est pas le cas, il suffit de voir ce que c'est qu'une inclusion et une appartenance.
Un ensemble ne peut être inclus dans un autre QUE SI la nature des éléments de ces 2 ensembles est la même, sinon ça na pas de sens "il ne faut pas mélanger les choux et les carottes"

Citation:

Posté par Jean-Charles

Un ensemble qui contiendrai pour les ensembles... bin j'ai pas encore un niveau d'étude très poussé, ce qui me laisserai pensé que C (ensemble des complexes) engloberai tous les autres... mais je pense qu'il doit bien y avoir des éléments qui ne lui appartienne pas (mais je ne sais pas lesquelles... donc demande a qq'un de plus qualifié!)

Pour prendre un exemple au hasard, l'ensemble {{1}} n'est pas inclu dans l'ensemble des nombres complexes. Ca n'a aucun sens non plus!
Sache qu'il y a aussi des ensemble de fonctions, de plein de choses qui ne sont pas inclus dans C.

Pour ce qui est des ensembles de nombres, tu as l'ensemble des quaternions, des octonions... des ...(on peut en construire une infinité) qui ne sont pas inclus dans C.

Et d'ailleurs, il n'existe aucun ensemble de tout les ensembles.

Jean-Charles · 02/10/2005, 19h23

Ok, je crois que j'ai compris!

Sinon, {1} "inclu dans C" mais {1}€C et {{1}} "inclu dans" P(C) c'est sa? (tu a utilisé {{1}} qui correspond a une parti d'un ensemble... ou alors j'ai tjs pas pigé!?

)

**doryphore** · 02/10/2005, 19h44

Citation:

Posté par g_h

Et d'ailleurs, il n'existe aucun ensemble de tout les ensembles.

Je crois que le problème, c'est plutôt de trouver l'ensemble de tous les ensembles qui ne se contiennent pas eux-même car sinon, je crois qu'il est logiquement possible de considérer l'ensemble de tous les ensembles, mais je me trmpe peut-être...

aze555666 · 02/10/2005, 21h22

sephi, je pense que P(E) EST la partition de E, ce ui veut dire l'nesemble des sous-ensembles de E. Je viens de l'apprendre en mpsi.

sinon, une question qui n'a rien à voir, c'est quoi, le "groupe révisions", dont fait partie le précédent posteur, doryphore ?

Gwyddon · 02/10/2005, 22h32

Citation:

Posté par aze555666

sephi, je pense que P(E) EST la partition de E, ce ui veut dire l'nesemble des sous-ensembles de E. Je viens de l'apprendre en mpsi.

Relis-bien ton cours alors

Sephi a raison, P(E) n'est sûrement pas une partition de E. P(E) est juste l'ensemble de toutes les parties de E.

Une partition (U_i) d'un ensemble E est une suite de parties de E vérifiant les deux propriétés fondamentales suivantes :

(i) $\displaystyle E = \cup_{i \in I} U_i$

(ii) pour tout i,j dans I, si $i \neq j$ alors $U_i \cap U_j = \empty$

P(E) ne vérifie pas la seconde propriété, ce n'est donc pas une partition de E

Sinon, à propos de l'ensemble de tous les ensembles, c'est dans l'axiomatique de Zermelo-Frankel que ça pose des problèmes, si on change d'axiomatique on a peut-être une réponse à la question, non ?

J.

indian58 · 06/10/2005, 20h35

Effectivement, si je ne me trompe, c'est l'axiome de fondation qui permet d'évacuer cet ensemble de tous les ensembles.