Irrationnel!

[Boobooboo]

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

[tommmyb]

Citation:

Posté par Boobooboo

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

essaie de raisonner par contraposee:
NON ( (racine a + racine b) non rationnel) implique (?)
NON ((racine a et racine b) non rationnel).
Attention: le contraire de (racine(a) et racine(b)) non rationnel
n'est pas racine(a) et racine(b) rationnel....

[tommmyb]

[quote=tommmyb]
essaie de raisonner par contraposee:

NON ( (racine a + racine b) non rationnel implique (?)
NON ((racine a et racine b) non rationnel).

Attention: la negation de (racine(a) et racine(b)) non rationnel
n'est pas racine(a) et racine(b) rationnel mais racine(a) ou racine(b) rationnel....

[Michel (mmy)]

Citation:

Posté par Boobooboo

Bonjours...

Je vien vous faire part d'un problème que j'ai du mal a résoudre, et pourtant...

Montrer que si (a,b)€Q² tel que Racine(a) et Racine(b) soient non rationnel, alors Racine(a)+Racine(b) ne l'est pas non plus...

J'ai tenté par l'absurde, mais ce qui m'aurai arrangé, sa aurai été d'avoir:

Racine(a) et Racine(b) rationnel => Racine(a)+Racine(b) rationnel car la se deviens (plutot) facile...

Car la pour l'absurde, on peut poser: supp. que Racine(a) et Racine(b) soient rationnels, et on montre que Racine(a)+Racine(b) l'est aussi... on contradiction avec le fait qu'il ne le soit pas... mais sa nous avance pas vraiment car on a prouvé que si racine(a) et racine(b) rationnel alors racine(a)+racine(b) aussi...

Et si on pose racine(a)+racine(b) rationnel, j'arrive pas a revenir a racine(a) et racine(b) rationel...

Donc je suis coincé!

Merci d'avance!

Bonjour, j'ai un problème là! A un certain sens, la proposition est manifestement fausse. 2 et 2 sont rationnels, et sont respectivement racines, et leur somme vaut 0, un rationnel.

Il faut alors comprendre l'énoncé en disant la somme des racines positives, soit , ce qui est une restriction intéressante (assez artificielle, et peu pédagogique pour la compréhension que la notion de racine carrée n'est pas injective, donc pas une fonction), mais qui devra nécessairement apparaître dans la démonstration.

Cordialement,

[GuYem]

Citation:

Posté par mmy

Bonjour, j'ai un problème là! A un certain sens, la proposition est manifestement fausse. 2 et 2 sont rationnels, et sont respectivement racines, et leur somme vaut 0, un rationnel.

Je crois que tu as mal saisi l'énoncé. Pourquoi tu as pris comme racine de 2 ?
Dans l'énoncé à montrer il y a bien un "+" entre les deux racines.

[Boobooboo]

Et oui, -racine(2) ne peut pas etre obtenu a partir de la racine d'un nombre a€Q...

Et pour tommy, par la négation on a bien racine(a) rationnel ou racine(b) rationnel...

Mais sa m'aide pas trop, car sa implique:
racine(a) rat. et racine(b) irrat.
ou
racine(a) irrat. et racine(b) rat.
ou
racine(a) rat. et racine(b) rat.

implique

racine(a)+racine(b) rat.

(ce qui est vrai*, donc la proposition de départ est faussee)

*car racine(a) rat. et racine(b) rat. implique bien racine(a)+racine(b) rat.

Non?

[tommmyb]

Citation:

Posté par Boobooboo

Et oui, -racine(2) ne peut pas etre obtenu a partir de la racine d'un nombre a€Q...

Et pour tommy, par la négation on a bien racine(a) rationnel ou racine(b) rationnel...

Mais sa m'aide pas trop, car sa implique:
racine(a) rat. et racine(b) irrat.
ou
racine(a) irrat. et racine(b) rat.
ou
racine(a) rat. et racine(b) rat.

implique

racine(a)+racine(b) rat.

(ce qui est vrai*, donc la proposition de départ est faussee)

*car racine(a) rat. et racine(b) rat. implique bien racine(a)+racine(b) rat.

Non?

Supposons Non Q: racine (a) + racine (b) est rationnel.
Posons c=racine(a)
d=racine(b)

alors il existe p,q e Q/ c+d=p/q
equivaut c^2 + 2c*d + d^2 = p^2/q^2
bon
on a alors c*d = (p^2 - q^2(c^2 + d^2))/2*q^2
le terme de droite est un rationnel.
on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation a "c ou d" est irrationnel (donc l'autre rationnel)
et ceci a parfaitement un sens car le cas "c et d" irrationnels est en fait un cas particulier du "ou". C'est pas tres rigoureux mais ca a l'air de marcher...hummm......qu'en penses tu?

[tommmyb]

[quote=tommmyb]

justement j'ai un petit probleme:
Supposons Non Q: racine (a) + racine (b) est rationnel.
Posons c=racine(a)
d=racine(b)

alors il existe p,q e Q/ c+d=p/q
equivaut c^2 + 2c*d + d^2 = p^2/q^2
bon
on a alors c*d = (p^2 - q^2(c^2 + d^2))/2*q^2
le terme de droite est un rationnel.
on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation de P a "c ou d" est irrationnel et la ca a parfaitement un sens.Effectivement, si on prend un rationnel et one le somme a un irrationnel on obtient encore un irrationnel.
Mias le cas "et" m' intrigue...l' inclusion du "et" dans le "ou" me semble trop dangereuse a ce moment...

[Korgox]

Citation:

Posté par tommmyb

on a alors deux possibilites: soit
c et d sont tous deux rationnels
soit les deux sont irrationnels : le cas de racine (2) par exemple

ce qui revient en negation a "c ou d" est irrationnel (donc l'autre rationnel)
et ceci a parfaitement un sens car le cas "c et d" irrationnels est en fait un cas particulier du "ou". C'est pas tres rigoureux mais ca a l'air de marcher...hummm......qu'en penses tu?

Heu justement il faut prouver que c et d ne peuvent pas être irrationnels par l'hypothèse, donc la proposition de départ. T'es pas plus avancé... enfin je comprends rien à ce que t'as écrit en bas ("ce qui revient...")

Pour résoudre le problème, il suffit d'y aller par l'absurde et éliminer une racine.

(poser que racine(p/q) + racine(r/s) = t/u avec les racines irrationnelles; tuer une racine)

[Michel (mmy)]

Citation:

Posté par GuYem

Je crois que tu as mal saisi l'énoncé. Pourquoi tu as pris comme racine de 2 ?
Dans l'énoncé à montrer il y a bien un "+" entre les deux racines.

J'ai très bien lu l'énoncé. Mais mon point semble échapper à tout le monde... On verra la démonstration!

(Le danger de la notation est flagrant avec les complexes (avec lesquels il faut la bannir)... Dommage qu'on ne prenne pas la mesure du danger bien avant...)

Cordialement,

[tommmyb]

Citation:

Posté par Korgox

Heu justement il faut prouver que c et d ne peuvent pas être irrationnels par l'hypothèse, donc la proposition de départ. T'es pas plus avancé... enfin je comprends rien à ce que t'as écrit en bas ("ce qui revient...")

Pour résoudre le problème, il suffit d'y aller par l'absurde et éliminer une racine.

(poser que racine(p/q) + racine(r/s) = t/u avec les racines irrationnelles; tuer une racine)

En fait j'essayais de raisonner par contraposee: supposer non Q et montrer non P (ou on doit montrer que P implique Q)
Seulement, en resultat J' obtiens
(c et d rationnels) ou (c et d irrationnels).

comme c'est un raisonnement en negation, je dois obtenir la negation de ce qui est ecrit ci-dessus:
c ou d rationnel et c ou d irrationnel. Ca ne m'avance peut-etre pas beaucoup mais logiquement c'est bon, non?

[Korgox]

Citation:

Posté par tommmyb

En fait j'essayais de raisonner par contraposee: supposer non Q et montrer non P (ou on doit montrer que P implique Q)
Seulement, en resultat J' obtiens
(c et d rationnels) ou (c et d irrationnels).

Je sais, et donc ton but là c'est de montrer que c et d sont rationnels et pas les deux irrationnels. Seulement t'es pas plus avancé : la seule chose que tu peux faire maintenant c'est de montrer que si c et d sont irrationnels, alors ils ne satisfont pas l'hypothèse, ce qui est la proposition de départ. Finalement t'es pas plus avancé.

Citation:

Posté par tommmyb

comme c'est un raisonnement en negation, je dois obtenir la negation de ce qui est ecrit ci-dessus:
c ou d rationnel et c ou d irrationnel. Ca ne m'avance peut-etre pas beaucoup mais logiquement c'est bon, non?

?



pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

[tommmyb]

le but, c'est d'essayer. On a le droit d'avoir des idees meme si elles ne marchent pas.
C'est un forum. On est la pour discuter, non?

[Michel (mmy)]

Citation:

Posté par Korgox

pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

Tu va comprendre! Je reprend ta démonstration en remplaçant par mes valeurs:

Soient -sqrt(2), sqrt(2) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que -sqrt(2) + sqrt(2) = 0 (rationnel)
alors -sqrt(2) = 0 - sqrt(2)
on met au carré : 2 = (0)^2 + 2 - 2*0*sqrt(2)
donc : sqrt(2) = 2/0 * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b

TILT ! Une division par 0 !!!

contradiction : sqrt(2) est rationnel, conclusion -sqrt(2) + sqrt(2) est irrationnel


Cordialement,

[Michel (mmy)]

Suite...

Je suis peut-être trop rigoriste, mais l'intitulé suivant me semble préférable: soit a et b deux nombres tels que leurs carrés soit rationnels, montrer que si a et b sont non rationnels et a+b est non nul, alors a+b est irrationnel.

Cela préserve une symétrie +/- que je suis gêné de voir disparaitre...

La démonstration est correcte pour l'intitulé ci-dessus, en rajoutant le nécessaire "puisque t n'est pas nul par hypothèse" !

Cordialement,

[Boobooboo]

Citation:

Posté par tommmyb

le but, c'est d'essayer. On a le droit d'avoir des idees meme si elles ne marchent pas.
C'est un forum. On est la pour discuter, non?

Mais bien sur que oui, je suis bien heureux que tu réponde!


----------

Citation:

Posté par mmy

Tu va comprendre! Je reprend ta démonstration en remplaçant par mes valeurs:

Soient -sqrt(2), sqrt(2) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que -sqrt(2) + sqrt(2) = 0 (rationnel)
alors -sqrt(2) = 0 - sqrt(2)
on met au carré : 2 = (0)^2 + 2 - 2*0*sqrt(2)
donc : sqrt(2) = 2/0 * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b

TILT ! Une division par 0 !!!

contradiction : sqrt(2) est rationnel, conclusion -sqrt(2) + sqrt(2) est irrationnel


Cordialement,

Mais tu ne peut pas avoir -sqrt(2) car tu part d'un rationnel positif (a>0) et tu prend sa racine, tu ne peu jamais obtenir qqchose de négatif! et malheuresuement, on ne peut pas changer l'intitulé lol (cf ton dernier post)



-------------------- et enfin ----------

Citation:

Posté par Korgox

pour les paresseux je fais la démo en entier :

Soient sqrt(p/q), sqrt(r/s) irrationnels (où sqrt() est la racine carrée)

supposons que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) = t/u (rationnel)
alors sqrt(p/q) = t/u - sqrt(r/s)
on met au carré : p/q = (t/u)^2 + r/s - 2*t/u*sqrt(r/s)
donc : sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s) = a/b
contradiction : sqrt(r/s) est rationnel, conclusion sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel

mmy> je comprends pas très bien le problème : on définit sqrt(u) comme la racine positive de x^2 - u = 0 pis c'est tout ! ça n'a plus de sens de parler de racine positive avec les complexes donc on utilise plus le symbole mais dans les réels ça à bien une signification.

Alors sa me pose un problème car:
Tu suppose que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est rationnel, et pas sqrt(r/s) seul. Donc tu n'arrive pas a une contradiction à la fin...

Mais y'a de l'idée... enfait, je viens d'y penser (grace a toi!)
Tu a réussi a prouvé que:
sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s)
donc sqrt(r/s) est rationnel, de la meme façon, sqrt(p/q) le sera aussi... d'ou sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel implique sqrt(p/q) et sqrt(r/s) rationnel (un "ou" suffirai) et par contraposition, sqrt(p/q) et sqrt(r/s) irrationnel implque sqrt(p/q) + sqrt(r/s) irrationnel
CQFD non?

[Korgox]

tommmyb> Salut, bien sûr qu'on est là pour discuter ? Je suis désolé si je t'ai paru froid ou que sais-je...

mmy> En fait je suis pas sur de la définition de racine carrée de x (x réel positif), mais il me semblait qu'on prenait la racine positive par convention ?

Citation:

Posté par Boobooboo

Alors sa me pose un problème car:
Tu suppose que sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est rationnel, et pas sqrt(r/s) seul. Donc tu n'arrive pas a une contradiction à la fin...

Si Justement on considère deux rationnels p/q et r/s tels que sqrt(p/q) et sqrt(r/s) sont irrationnels. Ensuite on voit que si on suppose sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel, alors on arrive à sqrt(r/s) rationnel ce qui est en contradiction avec l'hypothèse que sqrt(r/s) est irrationnel. (et donc sqrt(p/q) + sqrt(r/s) est irrationnel)

Citation:

Posté par Boobooboo

Mais y'a de l'idée... enfait, je viens d'y penser (grace a toi!)
Tu a réussi a prouvé que:
sqrt(r/s) = u/2t * (-p/q + (t/u)^2 - r/s)
donc sqrt(r/s) est rationnel, de la meme façon, sqrt(p/q) le sera aussi... d'ou sqrt(p/q) + sqrt(r/s) rationnel implique sqrt(p/q) et sqrt(r/s) rationnel (un "ou" suffirai) et par contraposition, sqrt(p/q) et sqrt(r/s) irrationnel implque sqrt(p/q) + sqrt(r/s) irrationnel
CQFD non?

Oui, aussi

[Boobooboo]

Ha oui! effectivement, j'avais mal compris donc...