Démontrer qu'un nombre est divisible par 43

[Bleyblue]

Bonjour,

Pourriez-vous me dire comment je dois m'y prendre pour démontrer que 6^{n + 2} + 7^{2n + 1} est divisible par 43 pour n naturel

J'ai déja essayé tourné cette expression dans tous les sens, sans succes ...

merci

[Romain BERTOUY]

Par récurrence :

soit Pn : 6^(n+2) + 7^(2n+1) est divisible par 43

démarrage : P0 c'est 43, conclusion immédiate

On suppose Pn,

pour Pn+1, tu peux l'écrire comme

6*6^(n+2) + 49*7^(2n+1) (t'es d'accord ?)

de là tu factorise d'abord par 6 ça donne :

6*[6^(n+2) + 49/6*7^(2n+1)] ça c'est rien, c'est du calcul sans trucage. par contre on peut constater que 49/6 = 1 + 43/6 (toujours d'accord ?) du coup ton expression peut aussi s'écrire :

6*[6^(n+2) + 7^(2n+1) + 43/6*7^(2n+1)] maintenant on sépare d'un côté Pn, et d'un autre le 'reste' :
6*[6^(n+2) + 7^(2n+1)] + 43*7(2n+1)
= 6 Pn + 43*7(2n+1)

voilà, je te laisse conclure

[Moma]

salut,

tu peux aussi tout simplement regarder les valeurs de 6^(n+2) et 7^(2n+1) modulo 43. Tu vois alors que la période est 3 pour chaque suite, et la somme fait comme par hasard 0 .

On doit trouer un truc du genre 36,1,6,... pour les puissances de 6, et 7,42,37,... pour les puissances de 7.


Amicalement
Moma

[robert et ses amis]

A coup de modulo, ça se résout élégamment :

à quoi est équivalent modulo 43 ?
à quoi est équivalent modulo 43?

faire la somme et conclure...

[indian58]

effectivement modulo est l'un des meilleurs outils en arithmétique!!!

[Bleyblue]

Par récurrence :

soit Pn : 6^(n+2) + 7^(2n+1) est divisible par 43

démarrage : P0 c'est 43, conclusion immédiate

On suppose Pn,

pour Pn+1, tu peux l'écrire comme

6*6^(n+2) + 49*7^(2n+1) (t'es d'accord ?)

de là tu factorise d'abord par 6 ça donne :

6*[6^(n+2) + 49/6*7^(2n+1)] ça c'est rien, c'est du calcul sans trucage. par contre on peut constater que 49/6 = 1 + 43/6 (toujours d'accord ?) du coup ton expression peut aussi s'écrire :

6*[6^(n+2) + 7^(2n+1) + 43/6*7^(2n+1)] maintenant on sépare d'un côté Pn, et d'un autre le 'reste' :
6*[6^(n+2) + 7^(2n+1)] + 43*7(2n+1)
= 6 Pn + 43*7(2n+1)

voilà, je te laisse conclure

En effet, j'avais bien pensé à raisonner par récurrence mais j'ai vite laissé tombé ... à tort

meci à tous !