Il y a un moyen de le démontrer, mais pas forcément celui voulu par ton enseignant.
Considère L comme le symétrique de A par rapport à C.
Donc le triangle AKL égale est équilatéral (l'angle pi/3 compris entre deux côtés égaux, [AK] et [AL]).
Come B est le milieu de [AK] et C le milieu de [AL], (BC) est parallèle à (KL). [Théorème de Thalès.]
I est le milieu de [BC].
Soit M le milieu de [KL]. Le grand triangle équilatéral AKL est découpé en quatre triangles équilatéraux égaux entre eux.
Soit s la droite parallèle à (AL) et passant par I.
s coupe [AB], [CB], [CM] et [LM] respectivement en N, I, P et Q.
Théorème de Thalès oblige, ces quatre points sont respectivement les milieux de ces quatre segments, et [NI]=[IP]=[PQ].
Donc [NI]=1/3 * [NP]
[AJ]=2/3 * [AC] = 2/3 * [AL] / 2 = 1/3 * [AL]
Donc :
[-NI-> = 1/3 * -NP->] ET [-AJ-> = 1/3 * -AL->] ET [(NI) et (AL) sont parallèles entre elles.]
Donc la droite (IJ) va passer par le point d'intersection des droites (AK) et (LK).
Or le point d'intersection de ces deux droites est K.
Donc la droite (IJ) passe par K.
L'autre méthode consiste à exprimer les vecteurs -JI-> et -JK-> en fonction de deux vecteurs parmi les vecteurs qui constituent les côtés du triangle ABC, l'un étant la différence des deux autres. Au final, tu trouves que -JK-> = 4 * -JI->.
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