solution soliton de l'equation de schrodinger ?

[spi100]

Bonjour,
Question bête, mais je n'arrive pas à donner une réponse claire.

Un equation non-linéaire admet une solution soliton car les effets non-linéaires compensent l'etalement du paquet d'onde.

1/Mais concrètement, comment montre t'on qu'une équation linéaire n'admet pas ce type de solution ?

2/Est - ce que l'équation de schrodinger admet des solitons ?

3/Est - ce que les états quasi-classiques, etats propres de l'opérateur d'annhilation sont des solutions solitons ?

Les réponses à 1, et 2 sont non a priori mais je ne vois le bon argument.
Pour 3, je dirais que effectivement ces états ne se déforment pas dans le temps, mais il ne s'agit pas d'un état à 1 particule mais une superposition d'etats à 1, 2, ... N particules.
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[Rincevent]

salut,

je suis très loin d'être spécialiste en solitons et n'ai pas le temps de réfléchir à ça, mais je vais essayer de répondre un minimum :

Un equation non-linéaire admet une solution soliton car les effets non-linéaires compensent l'etalement du paquet d'onde.

pour être plus précis je dirais "peuvent compenser" : toute équation d'onde non-linéaire n'admet pas de solution du type soliton. La caractéristique usuelle des ondes non-linéaires est l'apparition d'un choc

2/Est - ce que l'équation de schrodinger admet des solitons ?

avec un potentiel non-linéaire, oui. Cherche sur le web "équation de S non-linéaire" et tu auras des tonnes de résultats (il me semble que ça intervient par exemple en optique non-linéaire)

3/Est - ce que les états quasi-classiques, etats propres de l'opérateur d'annhilation sont des solutions solitons ?

dans quel cas ? tu parles de quelle équation ?

[spi100]

dans quel cas ? tu parles de quelle équation ?

En QED, ceux sont des états propres des opérateurs E et B.

[Rincevent]

En QED, ceux sont des états propres des opérateurs E et B.

je dirais que puisque la QED est linéaire, pas de solitons par définition (en tous cas dans le vide). Mais bon, je suis d'accord que les ondes solutions ont toutes la même vitesse de propagation... simplement, le terme "soliton" est pas employé là.

C'est-à-dire que pour revenir à ta première question, je dirais qu'on doit pouvoir considérer qu'une démonstration du fait qu'une théorie linéaire n'admet pas de solution type soliton est obtenue uniquement en regardant la dispersion d'un paquet d'ondes quelconque : par exemple Schrödinger pour une particule libre est dispersive (cf la relation de dispersion) donc un paquet d'onde s'étale. Le cas de l'équation d'onde linéaire sans dispersion étant trivial mathématiquement, il doit pas être considéré comme un "soliton".

Avec des non-linéarités, tu peux plus considérer les ondes indépendamment les unes des autres (d'où la méthode d'inverse scattering développée par Kruskal, méthode qui généralise la TF) et il est loin d'être trivial de montrer l'existence ou non de solitons.

Il me semble qu'il existe pas de méthode universelle pour dire si oui ou non une équation admet des solution type soliton. Le peu que j'en sais se résume au fait qu'il me semble qu'on cherche des solitons en construisant des mappings non-linéaires entre la variété initiale et une variété gentille (linéaire).

En clair, avec la méthode de "scattering inverse", on trouve une formulation linéaire du problème, puis on fait une transformation inverse qui nous ramène au système initial... m'enfin, du point de vue mathématique je crois que c'est assez corsé et j'ai malheureusement jamais pris le temps de regarder ça...

[A voir en vidéo sur Futura]

[spi100]

C'est-à-dire que pour revenir à ta première question, je dirais qu'on doit pouvoir considérer qu'une démonstration du fait qu'une théorie linéaire n'admet pas de solution type soliton est obtenue uniquement en regardant la dispersion d'un paquet d'ondes quelconque : par exemple Schrödinger pour une particule libre est dispersive (cf la relation de dispersion) donc un paquet d'onde s'étale. Le cas de l'équation d'onde linéaire sans dispersion étant trivial mathématiquement, il doit pas être considéré comme un "soliton".

Oui, comme formaliser mathématiquement l'étalement du paquet d'onde ? Une démo simple, qui explique que le paquet s'étale forcemment.

[Rincevent]

"comme" c'est "comment ?"

pour le cas d'une particule libre avec S, ce que tu fais généralement pour illustrer ça, c'est que tu prends un paquet gaussien et tu montres que sa dispersion spatiale va augmenter avec le temps. Mais la "démonstration", c'est à mes yeux rien d'autre que le fait que la vitesse de phase et la vitesse de groupe sont ni constantes (indépendantes du vecteur d'onde) ni égales.

[spi100]

"comme" c'est "comment ?"

Oui, je deviens dislexique.

Ok, merci pour les infos.

[GillesH38a]

je dirais que puisque la QED est linéaire, pas de solitons par définition (en tous cas dans le vide). Mais bon, je suis d'accord que les ondes solutions ont toutes la même vitesse de propagation... simplement, le terme "soliton" est pas employé là.

euh, je ne crois pas que la QED soit linéaire...sinon on n'aurait jamais de creation et d'annihilation de particules !

[GillesH38a]

Oui, comme formaliser mathématiquement l'étalement du paquet d'onde ? Une démo simple, qui explique que le paquet s'étale forcemment.

La façon la plus simple de raisonner pour moi, c'est de décomposer le paquet d'onde en deux demi-paquets dans l'espace des fréquences : si la vitesse de groupe varie avec la fréquence (condition nécéssaire pour l'étalement), le demi-paquet de haute fréquence ne voyagera pas à la meme vitesse que le demi-paquet de basse fréquence, et donc il y aura asymptotiquement étalement du paquet d'onde.

2 remarques :

1°) l'étalement n'est pas forcément immédiat. En fait les équations de propagation étant invariantes par renversement du temps, un étalement retourné dans le temps donne un rétrécissement du paquet d'onde ! ça correspond au fait qu'initialement, la demi-composante rapide peut se trouver "derrière" la demi-composante lente et peut la "rattraper" , conduisant à un rétrécissement du paquet.
Voir le calcul du paquet d'onde gaussien en Meca Q (Cohen Tannoudji par exemple), la dispersion passe par un minimum (correspondant à la limité de l'incertitude d'Heisenberg) avant d'augmenter (elle varie en a+b(t-t0)²)
Asymptotiquement en revanche, il y a toujours étalement.

2° ) La dispersion nécessite que la vitesse de groupe varie avec la fréquence, ce qui n'est pas strictement équivalent au phénomène de dispersion, qui demande que la vitesse de phase varie avec la fréquence. En général les deux varient, sauf le cas particulier d'une relation de dispersion du type
ou varie mais pas .

[Rincevent]

euh, je ne crois pas que la QED soit linéaire...

tu seras d'accord pour dire qu'un photon n'interagit pas directement avec un photon : tu n'as pas de graphes de Feynman uniquement avec des photons. Je pense pas me planter en disant que c'est la définition usuelle de la linéarité. Autre façon de le dire : les équations classiques qu'on dérive du lagrangien [celles de ta citation ] sont linéaires. Avec la nomenclature usuelle, on parle de non-linear electrodynamics pour désigner les théories du genre Born-Infeld :

http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0309185 (premier papier que j'ai trouvé où y'a un minimum d'explications sur le pourquoi du comment)

un autre : http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0509087

[GillesH38a]

tu seras d'accord pour dire qu'un photon n'interagit pas directement avec un photon : tu n'as pas de graphes de Feynman uniquement avec des photons. Je pense pas me planter en disant que c'est la définition usuelle de la linéarité. Autre façon de le dire : les équations classiques qu'on dérive du lagrangien [celles de ta citation ] sont linéaires. Avec la nomenclature usuelle, on parle de non-linear electrodynamics pour désigner les théories du genre Born-Infeld :

http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0309185 (premier papier que j'ai trouvé où y'a un minimum d'explications sur le pourquoi du comment)

un autre : http://fr.arxiv.org/abs/hep-th/0509087

D'accord mais il y a une interaction non-linéaire entre champs fermioniques et photons non?

[Rincevent]

D'accord mais il y a une interaction non-linéaire entre champs fermioniques et photons non?

ça dépend de ce que tu appelles non-linéaire...

le seul vertex en QED c'est le truc à 3 pattes dont deux fermioniques et pour moi il est linéaire...

m'enfin, évidemment, dès qu'on a interaction entre deux champs, on peut atteindre un "niveau non-linéaire". Pas besoin d'effet quantique pour ça, suffit d'avoir un champ gravitationnel intense ou un matériau avec un fort champ électrique à l'intérieur. Mais je pense pas que spi100 pensait à tout ça dans ses questions initiales... j'avais interprété sa question comme se référant à un champ électromagnétique certes quantique, mais libre (et sans prendre en compte les fluctuations quantiques d'ordres supérieurs).

bref, de toutes façons je suis quasi-certain qu'on est d'accord sur le fond et que c'est juste au niveau vocabulaire qu'on semble en désaccord...

[mtheory]

D'accord mais il y a une interaction non-linéaire entre champs fermioniques et photons non?

Je suis d'accord avec Gillesh38 ,c'est l'éternelle(?) confusion entre l'équation de Schroedinger linéaire du systeme photon+particules chargé et le système d'équations de champ quantififiées qui est bien non linéaire.En électrodynamique il y a aussi la notion d'action effective qu'il faut prendre en compte,les équations de Maxwell sont linéaires en l'abscence de charge mais il est bien connu que la possibilité de création de paires donne des effets de diffusions des photons par des photons !La théorie de ça peut se faire selon Feynman mais aussi avec la théorie des Lagrangiens effectifs ,ici c'est Heisenberg Euler.
Le cas de l'équation de Schroendinger non linéaire est 'misleading' selon moi car par définition l'équation de Schroendinger d'évolution d'un système est linéaire.Ce qu'on a est en faite comme la quantification de l'équation de Klein Gordon non ?

[mtheory]

Y a un truc ,je crois que c'est la théorie de Lax Milgran ,qui 'mape' un problème de soliton d'EDP non linéaires avec une équation genre Schr ,c'est plus ou moins ce dont parle Rincevent je crois avec Kruskal.

[mtheory]

Y a un truc ,je crois que c'est la théorie de Lax Milgran ,qui 'mape' un problème de soliton d'EDP non linéaires avec une équation genre Schr ,c'est plus ou moins ce dont parle Rincevent je crois avec Kruskal.

bon c'est plutôt les opérateurs de Lax.
Au passage je trouve ça not bad.
http://www.amath.unc.edu/Faculty/rho...s/solitons.pdf

[Rincevent]

Je suis d'accord avec Gillesh38

bah moi je reste d'accord avec moi-même

c'est l'éternelle(?) confusion entre l'équation de Schroedinger linéaire du systeme photon+particules chargé et le système d'équations de champ quantififiées qui est bien non linéaire.

comme je l'ai dit plus haut, dans le cas non-quantifié tu as également des non-linéarités effectives. Mais ça n'empêche que personne dira que les équations de Maxwell sont non-linéaires, même avec source. Y'a des effets non-linéaires via les interactions, mais la théorie est linéaire.

En électrodynamique il y a aussi la notion d'action effective qu'il faut prendre en compte,les équations de Maxwell sont linéaires en l'abscence de charge mais il est bien connu que la possibilité de création de paires donne des effets de diffusions des photons par des photons !

faut quand même se placer dans des conditions un peu extrèmes, non ?

La théorie de ça peut se faire selon Feynman mais aussi avec la théorie des Lagrangiens effectifs ,ici c'est Heisenberg Euler.

on est bien d'accord, mais étant donné que ce sont des corrections quantiques, je ne trouve pas ça bienvenu de parler de non-linéarités. M'enfin, bon, c'est juste du vocabulaire...

Le cas de l'équation de Schroendinger non linéaire est 'misleading' selon moi car par définition l'équation de Schroendinger d'évolution d'un système est linéaire.

c'est vrai qu'il ya risque de confusion entre l'équation de S de la physique quantique et celle effective qui n'est vue que comme une EDP quelconque...

Ce qu'on a est en faite comme la quantification de l'équation de Klein Gordon non ?

il me semble oui

c'est plus ou moins ce dont parle Rincevent je crois avec Kruskal.

ouaip, ce que j'avais survolé ressemblait à ça, mais en dehors de celui de Kruskal que je connaissais déjà, j'ai oublié les noms [d'ailleurs, je sais même pas si c'est bien le même K même si je pense que si]

[mtheory]

faut quand même se placer dans des conditions un peu extrèmes, non ?

Ben je sais pas en fait ,a priori tu dois avoir raison mais je me demande s'il n'y a pas des trucs assez 'soft' où l'on voit un peu le phénomène.

ouaip, ce que j'avais survolé ressemblait à ça, mais en dehors de celui de Kruskal que je connaissais déjà, j'ai oublié les noms [d'ailleurs, je sais même pas si c'est bien le même K même si je pense que si]

Il me semble que c'est le même ,après tout dans les deux cas c'est des EDP non linéaires.

[mtheory]

Ben je sais pas en fait ,a priori tu dois avoir raison mais je me demande s'il n'y a pas des trucs assez 'soft' où l'on voit un peu le phénomène

T'as raison ça se voit qu'en accélérateur et pas à de petites énergies.

[Rincevent]

a priori tu dois avoir raison

pour ce qui est de dire si la QED est linéaire ou pas, têt pas. Pour moi la définition d'une théorie non-linéaire, c'est quand les équations classiques découplées ne le sont pas. Mais bon, je comprends votre point de vue et y adhère... juste je suis pas certain de ce qu'on dirait officiellement... bref, je passe

je me demande s'il n'y a pas des trucs assez 'soft' où l'on voit un peu le phénomène.

j'en sais fichtre rien... la polarisation du vide joue dans diverses trucs assez "usuels", mais une interaction photon-photon, faut quand même au minimum 3 vertex [si le graphe à 3 pattes photoniques donne pas une contribution nulle, ce dont je me souviens plus depuis le temps que j'ai pas joué avec la QED ] et je sais pas si on le voit si facilement que ça avec, par exemple, deux faisceaux laser qui s'interceptent...

il me semble que c'est le même ,après tout dans les deux cas c'est des EDP non linéaires.

c'est ce que je m'étais dit... en plus les époques coïncident très fortement et c'est pas un nom super répandu...

[mtheory]

pour ce qui est de dire si la QED est linéaire ou pas, têt pas. Pour moi la définition d'une théorie non-linéaire, c'est quand les équations classiques découplées ne le sont pas.

Tout a fait d'accord

[GillesH38a]

comme je l'ai dit plus haut, dans le cas non-quantifié tu as également des non-linéarités effectives. Mais ça n'empêche que personne dira que les équations de Maxwell sont non-linéaires, même avec source. Y'a des effets non-linéaires via les interactions, mais la théorie est linéaire.

on est bien d'accord, mais étant donné que ce sont des corrections quantiques, je ne trouve pas ça bienvenu de parler de non-linéarités. M'enfin, bon, c'est juste du vocabulaire...

Quand même, les equations de Maxwell sont strictement linéaires en l'absence de source dans le sens ou deux ondes EM sont strictement inchangées en se croisant, alors qu'en QED deux photons peuvent créer une paire particule anti-particule!

ce sont quand même bien les "corrections quantiques" qui sont responsables des effets nouveaux de la QED par rapport à la théorie classique non?

Les equations de Maxwell sont linéaires au sens ou si les sources sont données , sans rétroaction du champ (pas de bremsstrahlung par exemple), les équations sont linéaires.
De même l'équation de Schrödinger est strictement linéaire dans un potentiel extérieur. Bien sûr si tu tiens comptes des interactions entre particules, comme pour les equations de Maxwell avec source, des effets non linéaires apparaissent.

[spi100]

QED est AMHA est bien une théorie linéraire. Le principe de superposition qui en découle est essentiel en mq.
Le fait qu'il y ait un terme de couplage j.A indique seulement que les vecteurs d'états propre de H ne seront pas de la forme |Etat(photon)>|Etat(bosons)> i.e. mais que tu devras forcemment avoir des combinaisons linéraires de ces états.

Maintenant le traitement de l'equation de Sch peut te ramener à un pb non-linéaire. Par exemple un simple hartree-fock avec un potentiel effectif t'amène à résoudre des équations non linéaires. Mais il ne faut pas perdre de vu que c'est la méthode d'approximation qui est non linéaire, et non l'équation de Sch.

[Rincevent]

Quand même, les equations de Maxwell sont strictement linéaires en l'absence de source dans le sens ou deux ondes EM sont strictement inchangées en se croisant, alors qu'en QED deux photons peuvent créer une paire particule anti-particule!

ce sont quand même bien les "corrections quantiques" qui sont responsables des effets nouveaux de la QED par rapport à la théorie classique non?

bah oui, je suis évidemment d'accord pour ce qui est du contenu physique. Mais pour ce qui est du terme à employer, je n'en démorderai pas : le lagrangien QED est linéaire donc la théorie est linéaire à la base.

Les equations de Maxwell sont linéaires au sens ou si les sources sont données , sans rétroaction du champ (pas de bremsstrahlung par exemple), les équations sont linéaires.

bah oui, mais justement : ça c'est vrai uniquement si on néglige des effets et ne considère pas le système de manière consistante. Pour moi, soit on dit que l'électromagnétisme de Maxwell n'est pas linéaire, soit la QED l'est aussi.

De même l'équation de Schrödinger est strictement linéaire dans un potentiel extérieur. Bien sûr si tu tiens comptes des interactions entre particules, comme pour les equations de Maxwell avec source, des effets non linéaires apparaissent.

on est d'accord

[spi100]

Je reviens avec mon histoire de soliton en MQ.
Si on regarde l'évolution temporelle d'un état cohérent i.e ( vecteur propre de l'opérateur a ) d'un oscillateur harmonique, on a quelque chose du genre


avec


On a donc bien un paquet gaussien centré à l'instant t sur , qui oscille donc autour d'un point d'équilibre sans jamais se déformer, exactement à la façon d'un soliton.

Est - ce que l'on peut parler de solution solition à l'Eq de Sch de l'oscillateur harmonique ou est - ce qu'il y a une subtilité qui empêche de parler de solition ?