Exo complexe-géométrie

[Lagoon]

Voila je bloque sur un truc qui je suis sur est idiot :

soit (a,b,c) € R^3 et e^ia + e^ib + e^ic = 0

Montrer que : e^i2a + e^i2b + e^i2c = 0

J ai essayé l'écriture trigo, l'élevation au carré de la premiere équation, et je tombe sur des trucs sans suites.

Apparemment il faudrait utiliser une méthode géométrique (c'est dans une fice d'exos intitulée complexes et géométrie). J'ai bien essayé de voir en plaçant a b et c sur le cercle trigo mais bon..

Sinon, j'ai vite remarqué que les racines cubiques de l'unité vérifiait l'équation mais ca ne me mène pas a grand chose.

J'ai aussi essayé de passer par les argument, sans succès..

Merci.

[Lagoon]

J'ai avancé pas mal .. et je crois avoir trouvé la solution :

si e^ia + e^ib + e^ic = 0

alors c'est que ces trois nombres complexes de module 1 forment un triangle équilatéral. Donc :

e^ib = e^ia * e^i*2pi/3 = j e^ia
e^ic = e^ia * e^i*4pi/3 = j² e^ia

on a donc bien e^ia ( 1 + j + j²) = 0

e^2ia + e^2ib + e^2ic = e^2ia + j² e^i2a + j^4 e^i2a.
Or j^4 = j
Donc e^i2a (1 + j + j²) = 0.


Si quelqu'un peut confirmer ? Comment être rigoureux pour prouver que le triangle doit etre équilatéral ?

[martini_bird]

Salut,
c'est bon pour moi.

Envoyé par Lagoon

Comment être rigoureux pour prouver que le triangle doit etre équilatéral ?

Si , alors avec et (ça revient à faire une rotation d'angle -a). On se retrouve avec le système d'équations

La deuxième équation donne et en réinjectant ce résultat dans la première équation il vient d'où les solutions j et j² pour le couple .

Il y a peut-être plus simple, mais cette méthode a le mérite d'être accessible à un élève de première S et de faire réviser les équations trigonométriques.

Cordialement.

PS: attention, il y a plusieurs ellipses (au sens littéraire) dans mon discours.

[Jeanpaul]

Envoyé par Lagoon

J'ai avancé pas mal .. et je crois avoir trouvé la solution :

si e^ia + e^ib + e^ic = 0

alors c'est que ces trois nombres complexes de module 1 forment un triangle équilatéral. Donc :

e^ib = e^ia * e^i*2pi/3 = j e^ia
e^ic = e^ia * e^i*4pi/3 = j² e^ia

on a donc bien e^ia ( 1 + j + j²) = 0

e^2ia + e^2ib + e^2ic = e^2ia + j² e^i2a + j^4 e^i2a.
Or j^4 = j
Donc e^i2a (1 + j + j²) = 0.


Si quelqu'un peut confirmer ? Comment être rigoureux pour prouver que le triangle doit etre équilatéral ?

On peut tout simplement remarquer que si on met bout à bout 3 vecteurs de longueur unité et que ça boucle, ça fait forcément un triangle équilatéral. Pour le reste, c'est juste.