Multiplication

Lévesque · 17/10/2005, 21h40

À partir de quand la relation ci-bas ne tient plus?

$a^{1/2}b^{1/2}=(ab)^{1/2}$

C'est le cas spécial a=b=-1 qui m'amène cette question... Je dois avoir vu ça il y a longtemps mais là j'ai oublié.

Merci!

Simon

**Rincevent** · 17/10/2005, 22h00

cf la formulation avec logarithme de cette fonction ainsi que la généralisation de logs aux nombres complexes... [juste un aperçu de réponse en attandant plus détaillé

]

b@z66 · 17/10/2005, 22h25

z^a=exp(a*ln(z))=exp(a*ln(|z|* exp(j*arg(z)))=exp(a*(ln|z|+j* arg(z)))=exp(a*ln|z|)*exp(j*ar g(z))

b@z66 · 17/10/2005, 22h37

j'ai fait une faute:
z^a=exp(a*ln|z|)*exp(j*a*arg(z ))
Dans le cas z=-1 et a entier,z^a est réel. Si z=-1 et a pas entier le résultat est complexe. La formule est définie pour tout z complexe avec l'argument définie de façon unique et pas à 2kPI près. Les formules de généralisation ne doivent pas poser de problème.

Lévesque · 18/10/2005, 16h30

merci b@z66

Pole · 18/10/2005, 17h01

Quel est le problème?
a^(1/2)*b^(1/2)=(-1)^(1/2)*(-1)^(1/2)=((-1)^(1/2))^2=
(-1)^(1/2*2)=(-1)^1=-1
(a*b)^(1/2)=1^(1/2)=1
Pas besoin de nb complexes.

ericcc · 18/10/2005, 17h29

Pole c'est quoi pour toi la racine carrée d'un nombre complexe ?

Par exemple la racine de i ?

GuYem · 18/10/2005, 19h05

Je dirais même plus : pour toi pole c'est quoi la racine de -1 ?

Pole · 19/10/2005, 14h01

sqrt(-1)=i
sqrt(i)=je sais pas.

Mais on peut calculer sqrt(i)^2, c'est égal à i. Et pourtant, pas besoin de savoir sqrt(i) pour le calculer.
Pareil pour sqrt(-1) : sqrt(-1)^2=((-1)^(1/2))^2=(-1)^1=-1.
Pas besoin de nb complexe.

martini_bird · 19/10/2005, 14h29

Salut,

attention: on ne peut pas définir des racines carrées n'importe comment sur le plan complexe. En fait, il faut commencer par définir un logarithme complexe sur le plan qui est alors nécessairement privé d'une demi-droite.

Si on voulait uniformiser la fonction racine carrée, il faudrait définir celle-ci non plus sur le plan complexe mais sur la surface de Riemann

$S=\left{(x, y)\in\mathbb{C}^2,\; y^2=x\right}$

qui est en fait un revêtement au dessus-de $\mathbb{C}$ , à deux feuillets et ramifié à l'origine...

Pour ma part, je dirais simplement que la formule de Lévesque (telle qu'elle est écrite) n'est valable que si a et b sont tous deux positifs.

Cordialement.

Duke Alchemist · 19/10/2005, 21h27

Bonsoir.

$\sqrt{i}=\sqrt{e^{\frac{i\pi}{ 2}}}=e^{\frac{i\pi}{4}}=\frac{ 1+i}{\sqrt{2}}$
non ?

Duke.

GuYem · 19/10/2005, 21h31

Citation:

Posté par Duke Alchemist

Bonsoir.

$\sqrt{i}=\sqrt{e^{\frac{i\pi}{ 2}}}=e^{\frac{i\pi}{4}}=\frac{ 1+i}{\sqrt{2}}$
non ?

Duke.

Je suis d'accord avec toi pour dire que e^(i.pi/4) élevé au carré ça fait i.

Seulement -e^(i.pi/4) marche aussi. Dans R on a un moyen de choisir : on choisirait celui qui est positif ; ici ça n'a pas de sens de choisir celui qui est positif.
C'est le début des problèmes...

La fin des problèmes arrive quand on fait ce qu'a dit Martini au dessus, bien plus tard.

Bref, pour repondre à la question de Levesque, je dirais comme Martini (on est copains

) : prends a et b >0 et t'auras aucun problèmes.

ericcc · 20/10/2005, 10h09

C'était le but de ma question à Pole. La réponse de Martini me semble complète concise et claire