[Maths] [L1] Arithmétique sur les entiers 2

[invite3bc71fae]

Soient a et b2 deux entiers naturels non nuls premiers entre eux.

1/ Montrer que , avec et et exprimer en fonction de , a et b tous les couples solutions de .

2/ Déterminer deux entiers u et v vérifiant
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[invite0982d54d]

Pour la 2
Alors on trouve u=26 et v=-11
Pour les détailles, je les écrirais demain. En attendant je vous laisse réfléchir.

[invite2f886c49]

Alors, une solution un peu abracadabrante :
a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux

D'après le théorème de Bezout tel que

Donc il existe vérifiant (cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)

De plus,
, avec
, avec

En posant on obtient :




Ce qui équivaut à,



D'où,

Mais là je bloque ...

[invite0982d54d]

Pour la 2

111 = 47*2 + 17
47 = 17*2 + 13
17 = 13*1 + 4
13 = 4*3 + 1


=> 1=13 - 4*3
1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
1 = 4*47 - 11(111-2*47)
1 = 26*47 - 11*111

finalement : u=26 et v=-11

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite0982d54d]

Pour la 1



Donc



or a et b sont premiers entre eux, alors



on fait pareil pour a, on trouve

On obtient :

[invite2f886c49]

Pour la 1



Donc



or a et b sont premiers entre eux, alors



on fait pareil pour a, on trouve

Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel que

On obtient :

C'est ce qui me manquait dans ma démo !

Bravo !

Peut-on en avoir d'autres des exercices ?

[invite0982d54d]

Jusque là je suis d'accord à condition de prouver l'existence de u et de v tel que

Je comprend pas trop ce que tu veux dire. Tu veux que je dise que si a et b, sont premiers entre eux, alors "Théorème de Bezout", il existe une infinité de couple tel que aU+bV = 1. avec ici
=> au - bv = 1

C'est ça ?

[invite2f886c49]

par exemple ... oui

[invite0982d54d]

par exemple ... oui

Donc je comprend pas trop, mais j'ai réussi à répondre ^^

[invite2f886c49]

Et bien dans la question posée il me semble qu'il est demandé l'existence et l'unicité c'est juste un point de détail... mais je suis d'accord, tu as trouvé le résultat.

[invite0982d54d]

Je ne crois pas que l'on demande l'unicité. Il demande pas tous les couples (u,v) Z² ?

[invite2f886c49]

Bonsoir !
Je parle de l'existence et de l'unicité de c'est la première partie de la question 1.

[invite0982d54d]

Oui j'avais pas vu.
Mais, je sais pas comment démontrer l'unicité.
Sauf peut être, en disant d'après le théorème de Bezout...

[invite2f886c49]

non... l'unicité vient de la division euclidienne (unicité du reste dans la division de par et de par )

[invite2f886c49]

Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couples mais la division euclidienne nous donne un unique couple

[invite0982d54d]

Le théorème de Bézout nous donne plusieurs couples mais la division euclidienne nous donne un unique couple

HA ben oui. C'est vrai. C'est même comme ça que j'ai fait pour determiner u et v du 2).

Merci AriesSith, ça m'a fait une très bonne révision.

[invite2f886c49]

Merci à toi pour ta démo ...
Moi aussi ça m'a permis de revoir ça ...

[invite3bc71fae]

Alors, une solution un peu abracadabrante :
a et b2 sont deux entiers naturels premiers entre eux

D'après le théorème de Bezout tel que

Donc il existe vérifiant (cf théorème de Bézout en remplaçant v par -v)

De plus,
, avec
, avec

En posant on obtient :




Ce qui équivaut à,



D'où,

Mais là je bloque ...

Ce que je te conseille, c'est de n'utiliser la division euclidienne que pour l'un des deux nombres u ou v.
Par exemple, si tu choisis d'exprimer que avec , tu pourras en déduire sans avoit recours à un autre queotient et ça devrait te permettre de conclure...

[invite3bc71fae]

Pour la 2

111 = 47*2 + 17
47 = 17*2 + 13
17 = 13*1 + 4
13 = 4*3 + 1


=> 1=13 - 4*3
1 = 13 - 3(17-13) = 4*13 - 3*17
1 = 4(47-2*17) - 3*17 = 4*47 - 11 * 17
1 = 4*47 - 11(111-2*47)
1 = 26*47 - 11*111

finalement : u=26 et v=-11

Ok, on était sûr que u et v existaient car ils sont premiers entre eux.

[invite3bc71fae]

Pour la 1



Donc



or a et b sont premiers entre eux, alors



on fait pareil pour a, on trouve

On obtient :

Il y a une petite erreur ici (on avait fait exprès de regarder ua-bv plutôt que ua+bv pour que la deuxième égalité soit plus sympathique...)

Ce serait bien que tu rapelle le nom de la propriété qui te permet de conclure que .
Et que tu m'explique pourquoi on a un seul k alors que tu as obtenu la divisibilité pour a indépendemment de b.

Enfin, il aurait fallu dire que les couples de nombres dont tu viens de démontrer qu'il s'écrivent nécessairement sous la forme sont bien des solutions.